En "Classical Mechanics" de Goldstein y "A Students Guide to Lagrangians and Hamiltonians" de Hamill me he dado cuenta de que tanto las derivadas de desplazamiento virtual como las derivadas de desplazamiento normal se utilizan en diferentes puntos de la prueba, como se muestra a continuación. Mi pregunta es ¿por qué se puede hacer esta mezcla de derivadas reales y virtuales?
Para simplificar las ecuaciones se supone que sólo hay una masa y una variable generalizada asociada con $x=x(q,t)$ con $\dot{x}$ que significa diferencial con respecto al tiempo.
El desplazamiento virtual $\delta x$ se utiliza para establecer la ecuación de trabajo virtual a través de:
$$\delta x = \frac {\partial x}{\partial q} \delta q, \qquad \delta t=0, \tag{1}$$
siendo sustituido en ( $F$ es la fuerza, $a$ es la aceleración):
$$(F/m) \delta x = a \delta x = a \frac {\partial x}{\partial q} \delta q.\tag{2}$$
Las siguientes ecuaciones (3) y (4) se utilizan para transformar la aceleración $a$ en el lado derecho de (2) en una forma basada en la energía cinética $T$ utilizando la ecuación diferencial de velocidad habitual con una posible explicitación $t$ -dependencia:
$$v=\dot{x} = \frac {\partial x}{\partial q} \dot{q} + \frac {\partial x}{\partial t} \tag{3}$$
para derivar:
$$ \frac {\partial v}{\partial \dot{q}} = \frac {\partial x}{\partial q}. \tag{4}$$
Así que parece que los desplazamientos virtuales se utilizan en (1) y (2) y los desplazamientos reales $$\delta x = \frac {\partial x}{\partial q} \delta q + \frac {\partial x}{\partial t} \delta t \tag{5}$$ se utilizan en las partes (3) y (4) de la derivación de d'Alembert de las ecuaciones de Lagrange.
