Aplicaciones de $\sf ZFC$/Teoría de Conjuntos en topología algebraica

Question

Estoy cursando este curso en aplicaciones de teoría de conjuntos donde estamos aprendiendo sobre $\sf ZFC$, ordinales, cardinales, hipótesis del continuo, axiomas de Martin, forcing, etc. Al final del semestre debo presentar una conferencia sobre un tema que me gusta que tenga que ver con esto.

Me preguntaba, ¿hay alguna aplicación interesante de la teoría axiomática de conjuntos a la topología algebraica? Comenzaré a estudiar el tema en un futuro cercano y me preguntaba si podría combinar ambos en algo.

Answer 1

Creo que la aplicación más interesante de la teoría axiomática de conjuntos en topología algebraica es el teorema de Casacuberta, Scevenels y Smith (http://www.ub.edu/topologia/casacuberta/articles/css.pdf). Era una pregunta abierta desde hacía bastante tiempo si existe un funtor de localización para cada teoría de cohomología, y mostraron que si se asume el axioma de la gran cardinal Vopenka's Principle, la respuesta es sí. Básicamente, se sabía cómo localizar con respecto a un conjunto, pero la localización con respecto a una clase propia plantea cuestiones fundamentales. ¡La idea (muy vaga!) de la prueba es que asumiendo el Principio de Vopenka, cada clase puede ser generada en un sentido adecuado solo por un conjunto, y luego se puede trabajar con la maquinaria de localización conocida. El trabajo posterior de Bagaria, Casacuberta, Mathias y Rosicky (http://www.ub.edu/topologia/casacuberta/articles/bcmr.pdf) mostró que un axioma de gran cardinal más débil es suficiente: la existencia de una clase propia de cardinales supercompactos.

Dicho todo esto, los detalles implican una topología algebraica bastante potente, por lo que si estás empezando puede ser difícil avanzar mucho más allá de esta visión general para tu proyecto. Si ese es el caso, la sugerencia de Hanul Jeon podría ser buena (¡si lo digo yo mismo!). Cuando comienzas a estudiar topología algebraica, la categoría de los complejos CW a menudo se presenta como una buena categoría de "espacios agradables" para trabajar. Sin embargo, una complicación es que cuando tomas el producto de dos complejos CW, la topología del producto usual no es necesariamente la correcta para que sea un complejo CW, aunque en la mayoría de situaciones que te interesan las dos topologías son iguales. Podrías preguntarte naturalmente cuándo exactamente las dos topologías son iguales; descubrí (https://arxiv.org/abs/1710.05296) que puedes dar una caracterización precisa de cuándo son iguales, y depende del número de límite, un cardinal incontable naturalmente definido que puede consistentemente ser estrictamente menor que la cardinalidad de los números reales. El resultado ciertamente es más topología de conjuntos que la topología algebraica moderna más convencional, pero la afirmación, las definiciones relevantes, y con algo de esfuerzo la prueba deberían ser accesibles para ti.