$ \int_Ufg\ dx=0 $ por cada $g\in C_c^\infty(U)$ implica $f=0$ a.e.

Question

Supongamos que $U$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ y $f:U\to\mathbb{R}$ es una función medible tal que $$ \int_Ufg\ dx=0 $$ por cada $g\in C_c^\infty(U)$ . Entonces $f=0$ a.e..

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Supongamos lo contrario $f\neq 0$ en algún subconjunto medible $V$ de $U$ tal que $V$ tiene medida de Lebesgue positiva. Para obtener una contradicción, ¿cómo debo manejar el signo de $f$ en $V$ ?

Answer 1

Cuando $f$ es localmente integrable basta con demostrar que $\int_R f=0$ para todos los rectángulos delimitados en $U$ . Ahora hay una secuencia $\psi_n \in C_c^\infty(R)$ , $0\leq \psi_n\leq 1$ que converge a $1_R$ puntualmente a.e. Así que por convergencia dominada $$ 0 = \int \psi_n f \rightarrow \int_R f $$

Utilizamos (entre otras cosas) que si ${\cal A}$ es una subálgebra (aquí los rectángulos) que genera el Borel $\sigma$ -entonces el conjunto de funciones escalonadas sobre ${\cal A}$ es denso en $L^1(U)$ .

Más detalles sobre las álgebras: El conjunto ${\cal R}$ consistente en la unión finita de rectángulos forman un álgebra (es estable bajo intersecciones, uniones y diferencias finitas). Cualquier conjunto abierto en ${\Bbb R}^n$ es una unión contable de las mismas. De ello se desprende que el más pequeño $\sigma$ -que contiene ${\cal R}$ es el Borel $\sigma$ -Álgebra. Dado un rectángulo fijo $R$ y un subconjunto medible $Y\subset R$ podemos encontrar una secuencia de mapas de pasos $\phi_n$ en ${\cal R}$ (es decir, suma de funciones características sobre rectángulos) que convergen a.e. (y en $L^1$ ) a $\chi_Y$ . Repitiendo el argumento anterior concluimos que $\int_Y f=0$ (para una demostración sobre esta secuencia de aproximación, véase, por ejemplo, Serge Lang, Real and Functional Analysis, sección IV, corolario 6.4; u otros libros sobre teoría de la integración).