Calcular la integral de superficie

Question

Siempre me confundo con esto...

Dejemos que $S$ sea la superficie $$z=x^2+y^2, z\leq 1,$$ orientado de manera que el vector normal tenga un valor positivo $z$ -coordinar, y dejar que $F$ sea el campo vectorial $(yz,-xz+\sin(z), e^{x^2+y^2})$ . Calcular la integral de superficie $$\int_SF.n\, dS \,\,$$

Answer 1

Por supuesto, esto sería mucho más fácil utilizando el teorema de la divergencia de Gauss, pero quería calcularlo directamente, porque es lo que pedía el OP

Hoy me siento generoso:

1. Parametrizar
2. Encontrar el vector normal (según la orientación dada)
3. Calcula la integral mediante la fórmula

Así que vamos:

1. Utilicemos las siguientes coordenadas $\Phi:(\theta,z)\in\Omega:=[0,2\pi]\times[0,1]\mapsto\begin{pmatrix}z\cos(\theta) \\ z\sin(\theta) \\ z^2\end{pmatrix}$

2. Primero calculamos uno de los posibles vectores normales $$\tilde{\vec{n}}=\frac{\Phi_\theta\times \Phi_z}{\|\Phi_\theta\times \Phi_z\|}=\frac{\begin{pmatrix}-z\sin(\theta) \\ z\cos(\theta) \\ 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\cos(\theta) \\ \sin(\theta) \\ 2z\end{pmatrix}}{\|\Phi_\theta\times \Phi_z\|}= \frac{\begin{pmatrix}2z^2\cos(\theta) \\ 2z^2\sin(\theta) \\ -z\end{pmatrix}}{\|\Phi_\theta\times \Phi_z\| }.$$ Como el vector normal tiene que ser elegido con positivo $z$ coordenada, por lo que establecemos $$\vec{n}=-\tilde{\vec{n}}$$

3. \begin {align*} \int_SF\cdot dA& = \int_\Omega F \circ\Phi ( \theta ,z) \cdot \vec {n}\| \Phi_\theta\times \Phi_z\ |dzd \theta = \int_\Omega F \circ\Phi ( \theta ,z) \cdot -( \Phi_\theta\times \Phi_z ) \N - dzd \theta\\ & = \int_0 ^{2 \pi } \int_0 ^1 \begin {pmatrix} \sin ( \theta ) z^3 \\ - \cos ( \theta )z^3+ \sin (z^2) \\ e^{z^2} \end {pmatrix} \cdot \begin {pmatrix}-2z^2 \cos ( \theta ) \\ -2z^2 \sin ( \theta ) \\ z \end {pmatrix} dzd \theta \end {align*}

puedes tomarlo desde aquí

Answer 2

Dejemos que $g(x,y,z)=x^2+y^2-z$ como resultado $$\nabla g(x,y,z)=(2x,2y,-1)$$ y $$n=\frac{\nabla g}{\left\| \nabla g.\overset{\to }{\mathop{k}}\, \right\|}=(2x,2y,-1)$$ tenemos \begin {align} & \int {F.n\\N,ds}= \iint\limits_ {D}{ \left ( y({{x}^{2}}+{{y}^{2}})\,,\,-x({{x}^{2}}+{{y}^{2}})+ \sin ({{x}^{2}}+{{y}^{2}})\,,\,{{e}^{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}} \right )}.(2x,2y,-1)dA \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= \iint\limits_ {D}{[2y \sin ({{x}^{2}}+{{y}^{2}})-{{e}^{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}}]dA} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= \int_ {0}^{2 \pi }{ \int_ {0}^{1}{(2{{r}^{2}} \sin \theta \sin ({{r}^{2}})-r{{e}^{{{r}^{2}}}})\,d}}rd \theta \\ \end {align}