$(\sin^{-1} x)+ (\cos^{-1} x)^3$

Question

¿Cómo puedo encontrar el valor mínimo y máximo de $(\sin^{-1} x)+ (\cos^{-1} x)^3$ ? He probado la fórmula $(a+b)^3=a^3 + b^3 +3ab(a+b)$ pero parece que no llega a ninguna parte

Answer 1

$$\frac{d}{dx}\left(\arcsin x +\arccos^{3}x\right)$$ $$\frac{d}{dx}\left(\arcsin x\right) +\frac{d}{dx}\left(\arccos^{3}x\right)$$ $$\frac{1}{\cos(\arcsin x)}+3\arccos^2x\cdot\left(-\frac{1}{\sin(\arccos x)}\right)$$ $$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+3\arccos^2x\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)$$ $$\frac{1-3\arccos^2 x}{\sqrt{1-x^2}}$$

Esta expresión es igual a cero cuando $x=\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ .

Introduciendo de nuevo la expresión original, obtenemos un valor mínimo de $\frac{\pi}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{9}$

Como no hay ningún otro lugar donde la derivada sea igual a cero, concluimos que el máximo debe estar en uno de los dos "puntos finales" de la función. Probando ambos $x=1$ y $x=-1$ vemos que el máximo se produce en $x=-1$ , donde $\left(\arcsin x +\arccos^{3}x\right)=\pi^3-\frac{\pi}{2}$

P.D. si te refieres a $\left(\arcsin x + \arccos x\right)^3$ esa función es constante en $\frac{\pi^3}{8}$

Answer 2

Si $a+b=k,$

Método $\#1:$ $$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=k^3-3kab$$

Ahora $$(a+b)^2-4ab=(a-b)^2\ge0\iff-4ab\ge-(a+b)^2$$

Método $\#2:$

$$a^3+b^3=a^3+(k-a)^3=k^3-3k^2a+3ka^2=k^3+3k\left(a^2-ka\right)$$

Ahora $a^2-ka=\dfrac{(2a-k)^2-k^2}4\ge-\dfrac{k^2}4$

Para ambos métodos, aquí $$k=\dfrac\pi2$$