Prueba de que $\sqrt x$ es absolutamente continuo.

Question

<blockquote> <p>Quiero demostrar que $f(x)=\sqrt x$ es absolutamente continuo.</p> </blockquote> <p>Así que debo mostrar que para cada $\epsilon>0$,hay un $\delta>0$ que si $\{[a_k,b_k]\}_1^n$ es una colección disjunta de intervalos que $\sum_{k=1}^n (b_k-a_k)<\delta$, entonces $\sum_{k=1}^n \left(\sqrt{b_k}-\sqrt{a_k}\right)< \epsilon$.</p> <p>Lo intenté pero no puedo obtener $\delta$ independiente de $n$.</p> <p>¿Cuál es mi error? ¿Hay alguna pista?</p> <p>Gracias.</p>

Answer 1

Tenga en cuenta que $\sqrt{x}$ es diferenciable con la derivada $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Dado que: $$\sqrt{x} = \int_0^x \frac{{\rm d}t}{2\sqrt{t}}$$and the derivative is Lebesgue-integrable (do note that the above integral is improper, though), $\sqrt{x}$ es absolutamente continuo.

Answer 2

Usted podría probar esto en unos pocos pasos:

• $f(x) = \sqrt{x}$ es absolutamente continuo en $[0, 1]$.
• Si $f$ es diferenciable en $[1, \infty)$ y $f'$ está limitado en $[1, \infty)$, $f$ es absolutamente continuo en $[1, \infty)$.- Esto se aplica para mostrar que $f(x) = \sqrt{x}$ es absolutamente continuo en $[1, \infty)$.
• Si $f$ es absolutamente continuo en $[0, 1]$ y también absolutamente continuo en $[1, \infty)$, entonces $f$ es absolutamente continuo en $[0, \infty)$.

Answer 3

Sugerencia: Puede demostrarlo mediante los siguientes pasos:

1. <span class="math-container">$\sqrt{x}$</span> es continuo en <span class="math-container">$[0,1].$</span>
2. para cualquier <span class="math-container">$\epsilon \in [0,1]$</span>, <span class="math-container">$\sqrt{x}$</span> es ac en <span class="math-container">$[\epsilon,1].$</span>
3. <span class="math-container">$\sqrt{x}$</span> es ac en <span class="math-container">$[0,1]$</span> siempre que esté aumentando.