En aras de la concreción y sin entrar en detalles de los índices covariantes y contravariantes, vamos a mostrar la diferencia con la ayuda de un ejemplo:
$\Lambda^\alpha_{\,\,\beta}$ se suele utilizar para denotar una transformación de Lorentz. Tomemos una transformación en $x$ -dirección:
$$\Lambda=\Lambda^\alpha_{\,\,\beta}=\left(\begin{array}{c c c c}\gamma & 0 & 0 &-\gamma v \\ 0 & 1 & 0 & 0\\0& 0 & 1 & 0\\-\gamma\frac{v}{c^2} & 0 & 0 &\gamma\end{array}\right)$$
Cuando esta transformación se aplica a un cuatro vector $x^\beta=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\t\end{array}\right)$ es decir $\Lambda\cdot x=\Lambda^\alpha_{\,\,\beta} x^\beta $ se obtiene la transformación estándar de Lorentz $x^\prime = \gamma(x-vt)$ , $y^\prime = y$ , $z^\prime = z$ y $t^\prime = \gamma(t-\frac{v}{c^2}x)$ .
Ahora, es fácil mostrar la diferencia entre las distintas notaciones de los índices: $$ \Lambda_{\alpha\beta}= \eta_{\alpha\gamma}\Lambda^\gamma_{\,\,\beta}=\left(\begin{array}{c c c c}1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\0& 0 & 1 & 0\\0& 0 & 0 &-c^2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c c c c}\gamma & 0 & 0 &-\gamma v \\ 0 & 1 & 0 & 0\\0& 0 & 1 & 0\\-\gamma\frac{v}{c^2} & 0 & 0 &\gamma\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c c}\gamma & 0 & 0 &-\gamma v \\ 0 & 1 & 0 & 0\\0& 0 & 1 & 0\\\gamma v & 0 & 0 &-\gamma c^2\end{array}\right)$$ y de manera similar $$ \Lambda^{\alpha\beta}= \Lambda^\alpha_{\,\,\gamma}\eta^{\gamma\beta}=\left(\begin{array}{c c c c}\gamma & 0 & 0 &-\gamma v \\ 0 & 1 & 0 & 0\\0& 0 & 1 & 0\\-\gamma\frac{v}{c^2} & 0 & 0 &\gamma\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c c c c}1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\0& 0 & 1 & 0\\0& 0 & 0 &-\frac{1}{c^2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c c}\gamma & 0 & 0 &\gamma \frac{v}{c^2} \\ 0 & 1 & 0 & 0\\0& 0 & 1 & 0\\-\gamma\frac{v}{c^2} & 0 & 0 &-\gamma\frac{1}{c^2}\end{array}\right)$$
