Lo que estás viendo aquí es la forma algebraica de definir la aritmética modular.
Se empieza con los enteros, $\mathbb{Z}$ . Y, a continuación, se define una relación de equivalencia: una forma de declarar números "equivalentes" o "no equivalentes". Una relación de equivalencia debe satisfacer algunas propiedades: tiene que ser simétrica ( $a\equiv b$ si y sólo si $b\equiv a$ ), debe ser reflexivo ( $a\equiv a$ para todos $a$ ), y debe ser transitivo ( $a\equiv b$ y $b\equiv c$ implica $a\equiv c$ ). Una relación de equivalencia divide un conjunto en subconjuntos de elementos que son mutuamente equivalentes.
En este caso, su relación de equivalencia es "difieren en un múltiplo de $m$ ": $a\equiv b\pmod m$ significa que $a-b=km$ para algunos $k\in\mathbb{Z}$ . Esto rompe $\mathbb{Z}$ en $m$ clases de equivalencia: $\{0,m,2m,\ldots\}$ , $\{1,m+1,2m+1,\ldots\}$ y así sucesivamente hasta $\{m-1,m+m-1,2m+m-1,\ldots\}$ .
Solemos representar estas clases de equivalencia con algo así como $[a]$ , donde $a$ es algún miembro específico de la clase.
Ahora, aquí es donde se pone interesante. Ciertamente, se puede tratar de definir $[a]\cdot[b]=[a\cdot b]$ . Pero, ¿qué pasaría si se hubiera elegido un representante diferente para las clases de equivalencia? Al fin y al cabo, $[a+m]=[a]$ y $[b+2m]=[b]$ . Si hubiéramos elegido $a+m$ y $b+2m$ como nuestros representantes, nuestra "regla" (aún no hemos demostrado que sea una función) nos daría $[(a+m)(b+2m)]$ . Para declarar esta función, tiene que darse el caso de que (entre otras cosas) $[(a+m)(b+2m)]=[ab]$ .
Por ejemplo, si $m=5$ ¿es necesariamente cierto que la clase de equivalencia que contiene $2\cdot3$ es la misma que la clase de equivalencia que contiene $7\cdot13$ ? Para que esta operación esté bien definida, debe obtener la misma clase de equivalencia de vuelta independientemente del representante que elija.
Entonces, lo que se le pide que demuestre es esto: si $a_1\equiv a_2\pmod{m}$ y $b_1\equiv b_2\pmod{m}$ ¿es necesariamente cierto que $a_1b_1\equiv a_2b_2\pmod{m}$ ?
Esto se reduce, por supuesto, a exactamente lo que usted dijo que tenía que demostrar: que $a_1b_1-a_2b_2$ es divisible por $m$ .
Como primer paso, observe que $a_1\equiv a_2\pmod{m}$ significa que hay un número $k$ para que $a_2=a_1+km$ . Del mismo modo, hay $h$ para que $b_2=b_1+hm$ . Intenta enchufarlas en $a_1b_1-a_2b_2$ y ver si puedes encontrar una manera de demostrar que es divisible por $m$ .
