Factores de las rotaciones del círculo como sistemas de preservación de la medida

Question

¿Existe algún criterio general para saber cuándo dos rotaciones de círculos son isomorfas (o cuándo son factores una de otra)? Sea $R_{\alpha}: S^1 \rightarrow S^1$ se define por $R_{\alpha}(x) = x + \alpha$ (mod $1$ ). No es difícil demostrar que cuando $\alpha:= \frac{p}{q}, \beta:=\frac{p'}{q'} \in \Bbb Q$ entonces $R_{\alpha} \ncong R_{\beta}$ si $(q, q') =1$ y si $p=p'$ y $q' \ |\ q$ entonces $R_{\beta}$ es un factor de $R_{\alpha}$ .

Si $\alpha \notin \Bbb Q$ entonces claramente no es isomorfo a una rotación racional, pero ¿tiene algún factor no trivial? No pueden ser racionales porque los factores serían ergódicos, pero no veo la manera de demostrar que no pueden tener factores irracionales...

Se agradecen las referencias o las respuestas. Gracias de antemano.

Answer 1

Es difícil ver que $R_{n\alpha}$ es un factor de $R_{\alpha}$ , donde $n$ es un número entero. El mapa de factores es $x\mapsto nx$ . Para otro caso podemos demostrar que la rotación $R_{\alpha}$ y $R_{\beta}$ no pueden ser factores entre sí. Hay dos casos, uno es que $\alpha$ y $\beta$ son racionalmente dependientes y ninguna es múltiplo de la otra, y la otra es que $\alpha$ y $\beta$ son racionalmente independientes. Mostraremos la afirmación para el segundo caso, y el primero es similar.

Supongamos que la afirmación es falsa. entonces existe un mapa de factores $f:(S^1,R_{\alpha}) \to (S^1,R_{\beta})$ . Entonces uno tiene que $$f(x)+n\beta=f(x+n\alpha).$$ Desde $\alpha$ y $\beta$ son racionalmente independientes, entonces podemos encontrar una secuencia $\{n_i\}$ tal que $n_i\alpha \to 0$ y $n_i\beta \to \frac{1}{2}$ . Entonces, a partir de la continuidad de $f$ tenemos $\frac{1}{2}=0$ , lo cual es una contradicción.