Ejemplos de espacios vectoriales no numéricos

Question

Recientemente he estado pensando por qué mis compañeros y otras personas a las que he ayudado a aprender espacios vectoriales tenían problemas para entender intuitivamente el concepto, y se me ocurrió que los espacios no numéricos (es decir, nada parecido a $\langle 3,2,3 \rangle$ u operaciones obvias de suma/multiplicación) los ejemplos podrían reforzar la intuición. Por ejemplo, un gran problema era entender que un espacio vectorial es simplemente un conjunto de vectores con dos operaciones que siguen 10 axiomas, y que un vector cero no es necesariamente todo ceros, etcétera.

¿Alguien tiene buenos ejemplos de espacios vectoriales (y de los vectores y operaciones en ellos, por supuesto) que no sean numéricos, y que por tanto no lleven a los que intentan demostrar su validez a quedarse atascados en chorradas (como suponer que el vector cero es todo ceros, que el vector inverso es el múltiplo escalar negativo, etc.)? Imágenes, letras y cualquier otra cosa sería ciertamente interesante.

Nota: Sé que hay preguntas sobre espacios vectoriales con características inusuales (y sólo parcialmente válidas) o operaciones no ordinarias pero estoy buscando ejemplos que tengan un mínimo de números involucrados, para eliminar todas las suposiciones automáticas que están involucradas en ellos.

Answer 1

Un ejemplo sencillo es tomar $\mathbb{R}^n$ pero para fijar un vector $w$ y modificar la multiplicación escalar a $a \otimes v = a (v - w) + w$ y además $u \oplus v = u + v - w$ . Se trata de la estructura habitual de espacio vectorial en $\mathbb{R}^n$ pero desplazado en $w$ En mi experiencia, muchos estudiantes tienen muchos problemas con este tipo de ejemplos, ya que nunca han aprendido a pensar de forma invariante respecto a la traducción. Por lo menos, este ejemplo debería diagnosticar rápidamente el problema que mencionas sobre el vector cero (que, por supuesto, es $w$ aquí).

Quizás un ejemplo más "no numérico" sea tomar el espacio de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea o relación de recurrencia, como por ejemplo $y'' - 3y' - 2y = 0$ o $a_{n+3} = a_{n+1} + a_n$ . Aunque el vector cero es en cierto sentido "todo ceros" en estos ejemplos, me gustan porque no es inmediatamente obvio cómo escribir una base para estos espacios (o, habiéndolo hecho, no es obvio que hayas elegido una útil).

Answer 2

Creo que me di cuenta por primera vez de que los espacios vectoriales pueden ser criaturas realmente extrañas cuando hice un curso de teoría de la representación.

Considere $G$ a un conjunto $$\mathbb C[G] = \{\sum_{g\in G} \alpha_g g\mid \alpha_g\in\mathbb C\}$$

Se trata de una colección de sumas formales. $G$ es un conjunto y no tiene definida ninguna suma, sus elementos no son números, por lo que realmente no existe ningún "resultado numérico" de este tipo de $\displaystyle\sum_{g\in G}\alpha_g g$ .

La adición se define naturalmente como: $$\sum_{g\in G} \alpha_gg + \sum_{g\in G} \beta_gg = \sum_{g\in G} (\alpha_g+\beta_g)g$$

Y la multiplicación escalar también es muy similar.

Esto puede considerarse como todas las funciones de $G$ en $\mathbb C$ tampoco es un espacio vectorial numérico.

En $G$ es finito, esto es isomorfo a $\mathbb C^{|G|}$ que no es más que una colección de $n$ -tuplas, que esencialmente intentas evitar. Sin embargo, el hecho sigue siendo válido, los espacios vectoriales son criaturas "simples", y bajo el supuesto de que tienen una base siempre se puede simplemente suponer que son tuplas (de la longitud correcta) y volver al dominio "conocido" del que se está tratando de escapar.

Si $G$ es también un grupo, entonces esta construcción se llama _Anillo de grupo_ y tiene definida una estructura adicional muy útil para aplicaciones de teoría de la representación.

Answer 3

Cuando intenté explicarle las bases a mi amigo utilicé el conjunto de todos los muebles de una habitación. Lo simplifiqué diciendo que sólo eran sillas y mesas. Los vectores base serían una mesa y una silla. La multiplicación sería a(2 sillas) = 2a sillas y la suma sería 2 mesas y 3 mesas = (2 + 3) mesas.

Answer 4

En este artículo de Wikipedia mencionan un espacio vectorial de palabras de longitud fija n, también se le puede dotar de una métrica (la distancia hamming) para convertirlo en un espacio vectorial normado.

Answer 5

¿Y si tomamos todos los colores y pensamos en ellos como un espacio vectorial (con bases, digamos, rojas, azules y verdes)? Los escalares estarían relacionados con la intensidad de esa luz y el vector cero sería el blanco. Piensa que -(azul) es naranja.