encontrar el núcleo de la transformación lineal en $M_n(\mathbb{R})$

Question

$L: M_n(\mathbb{R}) \rightarrow M_n(\mathbb{R})$ se define por $L(A) = A + A^T$

He encontrado el núcleo de esta transformación lineal y estará formado por matrices de la siguiente forma:

$A$ tal que $a_{ii} = 0$ para todos $i \in \{1, \cdots, n\}$ y $a_{ij} = -a_{ji}$ para todos $i \neq j$ .

Pero, ¿cuál es la base de esto y la dimensión?

Answer 1

La base más sencilla que se me ocurre.

Para cada $i,j$ con $i>j, a_{ij} = 1$ y $a_{ji} = -1$ Poner ceros en otros lugares.

¿Cuántos vectores se pueden definir de esta manera? Es igual al número de elementos del triángulo superior excluyendo la diagonal principal.

$\frac 12 (n)(n-1)$