Cómo abordar el problema de autocorrelación dado

Question

Si $X(t)$ es un proceso WSS con función de autocorrelación $R_{xx}(T)$ y $Y(t) = X(t+a) - X(t)$ , Demuestre que $$R_{yy}(T) = 2R_{xx}(T) - R_{xx}(T + 2a) - R_{xx}(T + 2a).$$

Answer 1

$$\begin{align} R_{yy}(\tau)&=\mathsf{E}\{y(t)y(t+\tau)\}\\ &=\mathsf{E}\{[x(t+a)-x(t)][x(t+\tau+a)-x(t+\tau)]\}\\ &=\mathsf{E}\{x(t+a)x(t+\tau+a)-x(t+a)x(t+\tau)-x(t)x(t+\tau+a)+x(t)x(t+\tau)]\}\\ &=R_{xx}(\tau)-R_{xx}(\tau-a)-R_{xx}(\tau+a)+R_{xx}(\tau)\\ &=2R_{xx}(\tau)-R_{xx}(\tau-a)-R_{xx}(\tau+a) \end{align}$$