Dado ,
$$ f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{xy^{3}}{x^{2}+y^{6}} & (x,y)\neq(0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \\ \end{cases} $$
Tenemos que comprobar si la función es continua en $(0,0)$ o no La solución dice que es continua en $(0,0)$ .
Lo que probé fue lo siguiente;
Para que la función sea continua en el punto $(0,0)$ el límite
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$$
debería existir.
Considere
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^{3}}{x^{2}+y^{6}}$$
Elijo un camino $y=mx^{\frac{1}{3}}$ y acercamiento $(0,0)$ a lo largo de este camino, por lo que la expresión anterior se convierte en
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xm^{3}x}{x^{2}+m^{6}x^{2}}$$
que resulta ser
$$\frac{m^{3}}{1+m^{6}}$$
Está claro que el límite no es único y no debería existir, pero la solución dice que la función es continua en $(0,0)$ .
¿Cómo? ¿Alguien puede ayudar? ¿Qué estoy haciendo mal?
