Demostrar que $[G: S]=[\phi [G]: \phi [S]] \cdot[N: S \cap N]$

Question

Estoy haciendo Ejercicio 10 en el libro de texto Álgebra por Saunders MacLane y Garrett Birkhoff. ¿Podría verificar si mi intento está bien o contiene errores lógicos?

Dejemos que $\phi:G \to H$ sea un homomorfismo de grupo tal que $N = \operatorname{ker} \phi$ y $S$ es un subgrupo de $G$ . El mapa inducido $\phi[\cdot]$ se define como $\phi[S] = \{\phi(x) \mid x \in S\}$ . Entonces $$[G: S]=[\phi [G]: \phi [S]] \cdot[N: S \cap N]$$

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Mi intento: En primer lugar, necesitamos un lema:

Si $N \le S \le G$ entonces $x \in S \iff \phi(x) \in \phi[S]$ .

Observe que $$[G: S]=[\phi [G] : \phi [S]] \cdot [N : S \cap N] \iff \frac{|G|}{|S|} = \frac{|\phi [G] |}{|\phi [S]|} \cdot \frac{|N|}{|S \cap N|}$$

Por segundo teorema de isomorfismo en grupos tenemos ${|SN|} / {|N|} = {|S|} / {|S \cap N|}$ . Además, $\phi [SN] = \phi [S]$ . Entonces nuestro trabajo se reduce a demostrar ${|G|} / {|SN|} = {|\phi [G] |} / {|\phi [SN] |}$ . Considere el mapa $$\psi: G/SN \to \phi [G] / \phi [SN], \quad gSN \mapsto \phi(g) \phi [SN]$$

Es suficiente con demostrar que $\psi$ es biyectiva. Sea $x,y \in G$ tal que $xSN = ySN$ . Tenemos $xSN = ySN$ si $x^{-1}y \in SN$ si $(\star)$ $\phi(x^{-1}y ) \in \phi [SN]$ si $\phi(x)^{-1} \phi(y) \in \phi [SN]$ . Por lo tanto, $\psi$ está bien definida y es inyectiva. Claramente, $\phi$ es suryente. Esto completa la prueba.

$(\star)$ Esto se debe a nuestro lema y al hecho de que $N \le SN$ .

Answer 1

Utilizaría el primer teorema del isomorfismo para obtener que $\phi(G)\cong G/N$ Y del mismo modo tenemos que $\phi(S)\cong S/(N\cap S)$ A partir de aquí debería ser pan comido ya que y el isomorfismo es una biyección por lo que $|\phi(G)|= |G/N|$ y $|\phi(S)|= |S/(N\cap S)|$ Divide y ya está

Editar: $\phi(S)\cong S/(N\cap S)$ se deduce de la restricción de $\phi$ a $S$