He estado siguiendo una serie sobre la comprensión de cómo los números imaginarios llegaron a ser, y en la serie, se menciona que los números imaginarios en su mayoría sigue las reglas de álgebra para los números reales, como la adición o la multiplicación por números reales. Sin embargo, se menciona específicamente esta "inconsistencia" sobre la multiplicación de las raíces cuadradas de los números imaginarios no siguen la regla para la multiplicación de las raíces cuadradas de los números reales, a saber $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ . Por ejemplo, por qué no puedo hacer esto: $\sqrt{-2} \times \sqrt{-3} = \sqrt{(-2)(-3)} = \sqrt{6}$ , que sé que es la respuesta equivocada. En el pasado, me limité a memorizar para sacar el factor de las partes imaginarias primero, y eso $i^2 = -1.$ Sin embargo, ¿alguien puede mostrarme una explicación para esto, o decirme dónde podría aprender más sobre esto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
$\sqrt\cdot$ está bien definida en $\Bbb R_+$ porque $\Bbb R$ tiene un orden total, lo que nos permite hacer una elección sensata entre las raíces cuadradas de $b$ (es decir $\sqrt b$ y $-\sqrt b$ ), es decir, tomar el positivo. Sin embargo, en $\Bbb C$ ya no se pueden comparar números ( $3i \le 5$ no tiene sentido, por ejemplo).
Por lo tanto, en su ejemplo $i\sqrt 2 \times i\sqrt 3 = -\sqrt 6$ es de hecho a raíz cuadrada de $6$ pero no es el raíz cuadrada de $6$ como nos gusta llamarlo en $\Bbb R$ . En $\Bbb R$ como el producto de dos números positivos es positivo, no tenemos este problema.
Todo viene de cómo definimos la raíz cuadrada de algo. En el análisis complejo, tenemos que todo número se puede escribir como $re^{i\theta} = re^{i(\theta +2\pi)}$ . Esto viene de la identidad de Euler y de escribir el número en coordenadas polares.
Como resultado, desde $e^{i\theta}$ es periódica con periodo $2\pi$ Cuando definimos el logaritmo de un número tenemos que hacerlo discontinuo o definirlo sólo en el plano menos una semirrecta desde el origen. Elegimos la segunda opción porque nos facilita mucho la vida.
Ahora, para definir las raíces cuadradas en el plano complejo, dejamos que $\sqrt{z}=e^{\frac{\log(z)}{2}}$ . Ahora de nuevo desde $e^{i\theta}$ tiene periodo $2\pi$ la identidad $\sqrt{zw}=\sqrt{z}\sqrt{w}$ es verdadero modulo $2\pi$ del ángulo. También el rayo que quitas del origen necesita ser el mismo para todos los términos involucrados para tener esta identidad, que para los números reales positivos es el eje real negativo, y para los números reales negativos es el eje real positivo normalmente. Así que otro problema es que estás cambiando lo que se llama la rama de tu logaritmo.
