Área del cuadrado acolchado por métodos elementales

Question

Dejemos que $\square ABCD$ sea un cuadrado con lados $r$ . Dibuja un cuarto de círculo a partir de cada esquina, como se muestra a continuación. La cuestión es si existe algún método elemental para calcular el valor del cuadrado relleno del centro ( $z$ ).

Utilizando la integración podemos ver que

$$ z = 4\int_{r/2}^{\sqrt{3}r/2} \biggl( \sqrt{a^2-x^2} - \frac{a}{2} \biggr) \mathrm{d}r = \frac{r^2}{4}(3 + \pi - 3\sqrt{3}) $$

Sin embargo, esto no es ni mucho menos algo que se le ocurra a un estudiante de secundaria. Intenté crear un sistema de ecuaciones

$$ \begin{align*} 4x + 4y + z & = r^2 \tag{1} \\ 2x + 3y + z & = \frac{\pi r^2}{4} \tag{2} \end{align*} $$

Por desgracia, no he podido encontrar una tercera ecuación lineal independiente que describa el sistema.

Answer 1

Creo que esta solución es adecuada para los estudiantes de secundaria:

Answer 2

Imagina que la esquina suroeste de la plaza es $(0, 0)$ El cuadrado tiene un lado $r$ y coordinamos de la forma habitual con el $x$ -a lo largo del lado inferior del cuadrado y el $y$ -eje a lo largo de su lado izquierdo.

La zona $Area(z)$ obviamente se puede dividir en cuatro áreas congruentes, una en cada cuadrante del cuadrado. Consideremos la del noreste. Es la parte del círculo de radio $r$ que tiene $x > r/2, y > r/2$ . Llame a su área $A$ Entonces $Area(z) = 4A$ .

Esto es sólo un sector de un círculo (centrado en 0), con dos triángulos eliminados. Llamamos al área del sector $S$ y el área de cada triángulo $T$ Entonces $z = 4(S-2T) = 4S - 8T$ . Ahora sólo tenemos que encontrar $S$ y $T$ .

$S$ es un sector de treinta grados del círculo, como puedes ver porque la construcción clásica de un triángulo equilátero está escondida en tu figura muchas veces. Así que $S = \pi r^2/12$ .

Un ejemplo de $T$ es un triángulo con vértices en $(0, 0), (r/2, r/2), (r \sqrt{3}/2, r/2)$ ; tiene base $r(\sqrt{3}-1)/2$ y la altura $r/2$ , por lo que su área es $T = r^2 \times (\sqrt{3}-1)/8$ .

Si lo juntamos todo, obtenemos

$$z = 4S - 8T = 4 \times {\pi r^2 \over 12} - 8 \times {r^2 {\sqrt{3}-1 \over 8}} = r^2 \left( {\pi \over 3} + 1 - \sqrt{3} \right)$$

Aunque lo he expresado en términos de geometría de coordenadas, no hay nada en la solución que se base esencialmente en las coordenadas; simplemente he elegido hacerlo así en lugar de hacer muchos dibujos.