Dejemos que $X$ sea un espacio topológico y $x_0\in X$ . Dejemos que $f,g:I\to X$ sean dos caminos que parten del mismo punto $x_0$ . Dejemos que $F:f\simeq g ~\text{rel}~x_0$ sea una homotopía. Sabemos que $h(t)=F(1,t)$ es un camino desde $f(1)$ a $g(1)$ . Mi pregunta es si los caminos $f*h$ y $g$ ¿homotopía relativa a los puntos finales? ¿Cuál es la fórmula explícita de la homotopía? 
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La homotopía que se desea se puede obtener a partir de la homotopía $F : [0,1] \to [0,1]$ de la siguiente manera.
En primer lugar, sabemos que $F(s,0)=f(s)$ , $F(s,1)=g(s)$ , $F(0,t)=x_0$ y $F(1,t)=h(t)$ .
Lo que hay que hacer es definir una función continua adecuada $Q : [0,1] \to [0,1]$ y luego demostrar que $F \circ Q : [0,1] \to [0,1]$ es una homotopía de trayectoria de $f*h$ a $g$ . He aquí cuatro características de $Q$ que necesitaremos para poder demostrarlo.
Primero, $Q(0,t)=(0,t)$ . Eso garantiza que $F \circ Q(0,t)=x_0$ .
Segundo, $Q(1,t)=(1,1)$ . Eso garantiza que $F \circ Q(1,t)=x_2$ .
Tercero, $Q(s,0)=(2s,0)$ si $0 \le s \le 1/2$ y $Q(s,0) = (1,2s-1)$ si $1/2 \le s \le 1$ . Esto garantiza que el mapa $s \mapsto F \circ Q(s,0)$ es el camino $f*h$ .
Cuarto, $Q(s,1)=(s,1)$ . Eso garantiza que $F \circ Q(s,1)=g(s)$ .
Así que todo lo que se necesita es demostrar que $Q$ existe con esas propiedades. Ya he dicho exactamente cómo definir $Q(b)$ para cada punto $b \in \partial([0,1]\times[0,1])$ es decir, el límite de $[0,1]\times[0,1]$ .
A continuación, dejemos que $c=(1/2,1/2)$ y exigir que $Q(c)=c$ .
Por último, extiéndase sobre los "radios" que conectan $c$ a $\partial([0,1]\times[0,1])$ lo que significa que para cada $b \in \partial([0,1] \times[0,1]$ y cada $0 \le u \le 1$ definir $$Q((1-u)c + ub) = (1-u)Q(c) + u Q(b) = (1-u)c + u Q(b) $$
Kyle Ferendo
Puntos
126
La misma homotopía funcionará si se parametriza de otra manera. Basta con utilizar, por ejemplo $$G(x,t)=\begin{cases}F(2x/(t+1),t) & x\leq (t+1)/2 \\ F(1,2x-1) & x> (t+1)/2\end{cases}$$
Podría ser un buen ejercicio para ti verificar que esa homotopía te da exactamente lo que quieres (¡y es coninua!). Para ver cómo se me ocurrió, intenta graficar cómo mapea el cuadrado unitario a sí mismo.
Y nótese que aunque el anterior es uno de los ejemplos más fáciles y sencillos de escribir de tal homotopía, cualquier mapa continuo del cuadrado unitario a sí mismo que se comporte como es necesario en la frontera será suficiente.
