Cómo aplicar la ecuación de Euler-Lagrange cuando los puntos finales no son fijos

Question

¿Cómo se aplican las ecuaciones de Euler-Lagrange cuando se quiere minimizar el coste de recorrer una distancia de $L$ desde un punto determinado, $0$ dada una función de costes $C(t)=f(y,y')$ ?

Mi problema con esto es que la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange requería un término de frontera para ser $0$ y para ello asumimos que el límite es fijo. Aquí tenemos unas integrales $$\int_0^{T}f(y,y')\,dt$$ pero $\delta y(T)$ no es fijo.

Answer 1

Los términos de frontera no tienen que ser necesariamente 0, cuando los términos de frontera no se dan para ser cero surgen condiciones de frontera adicionales. La mejor manera de ver esto es derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange. $$min\int_0^T f(y,y')dt$$ Queremos encontrar el óptimo $y$ llamémoslo $\tilde{y}$ . Podemos decir $$y=\tilde{y}+\alpha v$$ $$y'=\tilde{y}'+\alpha v'$$ Dónde $v$ es una "variación admisible" y $\alpha$ es sólo un multiplicador escalar. Todo lo que estamos diciendo realmente es que cualquier $y$ puede expresarse como el óptimo $y$ más la variación respecto al óptimo. Ahora, como queremos que nuestra integral se minimice cuando $\alpha=0$ podemos afirmar que $$\frac{d}{d\alpha}\int_0^T f(\tilde{y}+\alpha v,\tilde{y}'+\alpha v')dt|_{\alpha=0}=0$$ Del cálculo recordamos que $$\frac{df}{d\alpha}=\frac{\partial f}{\partial y}\frac{d y}{d \alpha} + \frac{\partial f}{\partial y'}\frac{d y'}{d \alpha}$$ Así, nuestra ecuación se convierte en $$\int_0^T \frac{\partial f}{\partial y}(\tilde{y},\tilde{y}')v+\frac{\partial f}{\partial y'}(\tilde{y},\tilde{y}')v'dt=0$$ Obsérvese que he puesto los alfas a 0. A partir de este momento todos mis $y$ s son realmente $\tilde{y}$ pero dejaré de lado las tildes en aras de una notación más limpia. Así que tenemos la ecuación $$\int_0^T \frac{\partial f}{\partial y}v+\frac{\partial f}{\partial y'}v'dt=0$$ No nos gusta tener derivadas de las variaciones, así que utilizaremos la regla del producto (también conocida como integración por partes) para deshacernos de ellas. $$\frac{\partial f}{\partial y'}v'=\frac{d}{dt}(\frac{\partial f}{\partial y'}v)-(\frac{d}{dt}\frac{\partial f}{\partial y'})v$$ Introduciendo esto en la integral y simplificando obtenemos $$\int_0^T v(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dt}\frac{\partial f}{\partial y'})dt + (\frac{\partial f}{\partial y'}v)|_0^T=0$$ Ahora, vamos a poner cada una de las partes igual a cero ya que no tenemos mucho control sobre $v$ . Al establecer la integral igual a cero obtenemos nuestra clásica ecuación de euler lagrange $$\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dt}\frac{\partial f}{\partial y'}=0$$ Ahora, el término límite. Si nos dieran $y$ en $0$ y $T$ , $v$ tendría que ser cero allí ya que y no varía. Sin embargo, si no se nos dan BCs en ambos extremos, entonces todavía necesitamos que ese término sea cero, pueden surgir dos condiciones más. $$\frac{\partial f}{\partial y'}(t=T)=0$$ y $$\frac{\partial f}{\partial y'}(t=0)=0$$ Si se le da una condición de contorno en un solo extremo (por ejemplo en el 0) sólo use el BC extra para el otro extremo (T en nuestro ejemplo). Una última nota, las condiciones de contorno que acabamos de obtener se llaman a veces condiciones de contorno naturales, ya que surgen naturalmente de la derivación, mientras que las condiciones de contorno que se dan explícitamente se llaman condiciones de contorno esenciales.