Convenciones de denominación para las representaciones de las combinaciones

Question

Combinaciones, es decir, ordenadas $k$ -subconjuntos del conjunto $\{1,2, \ldots, N\}$ se suelen expresar indicando los índices $(i_1,\ldots,i_k)$ contenidas en un subconjunto determinado. Por ejemplo, al elegir $N=3$ y $k=2$ y teniendo en cuenta las repeticiones, se obtiene (en orden de colexión):

$$ (1,1),(1,2),(2,2),(1,3),(2,3),(3,3)\\ $$

La misma información también puede representarse mediante un vector $(o_1,\ldots,o_N)$ donde el número $o_j = \sum_{m=1}^k \delta_{i_m,j}$ cuenta el número de veces que el índice $j$ aparece en la combinación. En esta representación, se obtiene para el ejemplo anterior

$$ (2,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(1,0,1),(0,1,1),(0,0,2) $$

En mecánica cuántica, la primera representación podría llamarse orbital mientras que la segunda se denomina ocupación representación.

¿Cuáles son las convenciones de nomenclatura utilizadas en las combinaciones?

Answer 1

Si se trata de subconjuntos $S \subseteq \{1,2,\dots,n\}$ el vector $(x_1,x_2, \dots,x_n)$ donde $x_i = 1$ si $i\in S$ y $0$ de lo contrario se denomina _vector indicador_ , vector característico o vector de incidencia .

En su caso, se trata de conjuntos múltiples tomados de $\{1,2,\dots,n\}$ . En este caso, podemos tomar prestado el término "vector característico", pero probablemente no deberíamos utilizar ninguno de los otros, ya que connotan un vector con entradas en $\{0,1\}$ . Por esta razón, el vector indicador se escribe a veces $1_S$ , que es una notación que probablemente no deberías tomar prestada. Las cosas características de $S$ a veces se denominan $\chi_S$ .

Normalmente, pensamos en un conjunto $S = \{1,1,2,4\}$ como ser el multiconjunto, y el correspondiente vector característico $(2,1,0,1)$ (si $n=4$ ) como representación del multiconjunto, por lo que no hay mucha terminología específica para su primera representación. En principio, se podría llamar a $(1,1,2,4)$ el secuencia ordenada de elementos de $S$ .