Para responder a tu pregunta sobre la estabilidad, a menudo hay que imponer algún tipo de restricción en el paso del tiempo. He aquí un ejemplo.
Consideremos la ecuación de difusión por advección: $$ \partial_t u + a \partial_x u - b\partial^2_x u = 0, \text{ with } u(x,t=0) = f(x) $$ para $x \in [-1,1]$ con $u(x+2,t) = u(x,t)$ para todos $x$ y $t$ .
Aplicando entonces el método de las diferencias explícitas, $$ U(x,t+\Delta t) = U(x,t) - \frac{a \Delta t}{2 \Delta x} \left(T - T^{-1}\right) U(x,t) + \frac{b \Delta t}{\Delta x^2}\left(T - 2 + T^{-1} \right)U(x,t) $$
Recordemos las siguientes reglas de la Transformada Discreta de Fourier:
$$U(x + 2 L) = U(x), \text{ and } L = N \Delta x = 1$$
$$ \hat{U}(\xi + 2L) = \hat{U}(\xi), \text{ and } \hat{L} = N \Delta \xi \text{ with } N\Delta x \Delta \xi = \pi$$
$$\widehat{TU} (\xi) = \hat{U} (\xi) e^{i \xi \Delta x}$$
Aplicando las reglas anteriores, entonces nuestra ecuación del método de la diferencia se convierte en
$$ \hat{U}(\xi, t+\Delta t) = \hat{U}(\xi,t) - \frac{a \Delta t}{2 \Delta x}\underbrace{\left(e^{i \xi \Delta x} - e^{-i \xi \Delta x} \right)}_{2i sin(\xi \Delta x /2)}\hat{U} + \frac{b\Delta t}{\Delta x^2}\underbrace{\left(e^{i \xi \Delta x} - 2 + e^{-i \xi \Delta x} \right)}_{\left(e^{i \xi \Delta x} - e^{-i \xi \Delta x} \right)^2 = \left(2i sin(\xi \Delta x /2)\right)^2}\hat{U} $$
Con
$$\xi \in [-\frac{\pi}{\Delta x},\frac{\pi}{\Delta x}], \text{ or } \frac{\Delta x\xi}{2} \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$$
Y después de un poco de álgebra,
$$ \hat{U}(\xi, t+\Delta t) = \left[1 - \frac{a \Delta t}{\Delta x} i \sin(\xi \Delta /2) - \frac{b \Delta t}{\Delta x^2} 4 \sin^2(\xi \Delta /2)\right]\hat{U}(\xi,t)$$
Aquí está la parte de la estabilidad
Requiere $\|\hat{U}(t+\Delta t)\|_2 \le \|\hat{U}(t)\|_2$ para evitar el estallido (Estabilidad) y recordar que el proceso de la Transformada de Fourier es preservador de la norma, entonces $$ \left\|1 - \frac{a \Delta t}{\Delta x} i \sin(\xi \Delta /2) - \frac{b \Delta t}{\Delta x^2} 4 \sin^2(\xi \Delta /2) \right\|_2 \le 1 $$ Lo que equivale a $$ \left( 1 - \frac{b \Delta t}{\Delta x^2} 4 \sin^2(\xi \Delta /2)\right)^2 + \left( \frac{a \Delta t}{\Delta x} \sin(\xi \Delta /2)\right)^2 \le 1 $$
Para obtener la restricción de $\Delta t$ y $\Delta x$ que son el paso de tiempo y el paso de espacio para el método numérico, se establece \begin {align*} \sin ( \xi \Delta /2) = 1 & \Rightarrow \frac { \Delta t}{ \Delta x^2} (b^2 + a^2) \le 2b \\ & \Rightarrow \Delta t \le \frac {2b \Delta x^2}{a^2 + b^2} \end {align*}
Nota hay otra condición de estabilidad para este sistema, pero esta condición engloba a la otra por lo que no la menciono.
Espero que esto ayude.
