Momento electromagnético

Question

Mi libro dice : El hecho de que la radiación electromagnética de la energía llevaba el momento era conocido por la teoría clásica y por los experimentos de Nichols y Hull en 1903. Esta relación también es consistente con la expresión relativista para una partícula con energía de reposo cero). ¿Alguien sabe cuáles fueron esos experimentos y por qué la teoría clásica sugiere que el momento de la luz es E/c?

Answer 1

Las ecuaciones de Maxwell no son consistentes con la relatividad galileana. Son implícitamente relativistas. En la relatividad, la definición de masa es $m^2=E^2-p^2$ . Por un rayo de luz, $m=0$ Así que $E=|p|$ .

Answer 2

No conozco los experimentos ni la historia, pero aquí hay tres cálculos clásicos que te dan lo que quieres:

Método 1: Carga de prueba y onda electromagnética plana

Como en la sección 34-10 del primer volumen de Feynman Lectures on Physics, piensa en una onda plana y una carga de prueba en el origen. En este punto, dejemos que $\mathbf{E} = E \,\hat{\mathbf{x}}$ , $\mathbf{B} = \frac{E}{c} \,\hat{\mathbf{y}}$ : esta es una solución de onda plana de las ecuaciones de Maxwell. Entonces la carga estará oscilando en el $\hat{\mathbf{x}}$ -dirección, por lo que supongamos que en el instante de tiempo considerado se mueve con velocidad $\mathbf{v} = v\,\hat{\mathbf{x}}$ . La tasa de trabajo del campo electromagnético sobre la partícula a través del campo eléctico es $P = q \,E \,v$ por lo que la carga está absorbiendo energía del campo a este ritmo. Nótese que la fuerza eléctrica sobre la partícula es oscilante y tiene una media temporal de cero. Pero, al mismo tiempo, la fuerza magnética sobre la partícula es $\mathbf{F} = q\,\mathbf{v}\wedge \mathbf{B}$ y $F=q\,v\,\frac{E}{c}$ . $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ están en fase, y la velocidad de la partícula en estado estacionario guarda una relación de fase constante con $\mathbf{B}$ Así que ambos $P$ y $\mathbf{F}$ oscilan en fase al doble de la frecuencia de la luz y con media temporal no nula, y la relación de esta media, a partir de lo anterior, es $\frac{P}{F} = \frac{q \,E \,v}{q\,v\,\frac{E}{c}} = c$ . La fuerza es simplemente la tasa de transferencia de momento en el tiempo. Así, siempre que el campo electromagnético transfiere energía $W$ a una partícula, también transfiere el momento $\frac{W}{c}$ .

Método 2: Contenido inercial de la energía

Imaginamos un pulso de energía $W$ emitido desde un extremo de una nave espacial y absorbido en el otro. Pero el contenido de inercia de este pulso es $\frac{W}{c^2}$ . Así que, superficialmente, parece que el centro de masa del sistema se desplaza (por mella de la energía en movimiento) mientras el pulso de luz está en vuelo. La conservación del momento se violaría si esta suposición es cierta. Sin embargo, se puede resolver la contradicción si se supone que la nave espacial siente un retroceso al lanzar el pulso de luz. Entonces, si la masa de la nave espacial es $M$ tiene que moverse en la dirección opuesta a la luz con velocidad $c \frac{W}{c^2} \frac{1}{M}$ porque esta velocidad mantendrá inmóvil el centro de masa del sistema. Así, obtenemos $\frac{W}{c}$ para el momento del impulso.

Obsérvese que si utilizamos la inversa del método 2 junto con el método 1 (es decir, conociendo la presión de radiación y, por lo tanto, el empuje en la nave espacial), podríamos deducir de los primeros principios que la masa efectiva de la luz necesaria para mantener la conservación del momento es $\frac{E}{c^2}$ .

Método 3: Onda plana que incide en un metal

En realidad es un caso especial del método 1 (que es más general), pero tiene un parámetro ajustable (la conductividad del espejo) que puede utilizarse para ilustrar dos comportamientos distintos. Utilizo la convención $\partial_t \mapsto -i\,\omega$ donde $\omega$ es la frecuencia angular del campo.

Que el $x-y$ plano ( es decir $z=0$ ) sea la cara de un espejo: porque $z<0$ tenemos el espacio libre caracterizado por las constantes eléctrica y magnética del espacio libre $\epsilon_0$ y $\mu_0$ , para $z>0$ tenemos un metal de constante eléctrica $\epsilon$ , constante magnética $\mu$ y la conductividad $\sigma$ . En el espacio libre existe una onda plana incidente tal que en el plano $z=0$ :

Campo eléctrico: $\mathbf{E} = E_i \hat{\mathbf{x}}$

Campo magnético: $\mathbf{H} = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}}\, E_i \hat{\mathbf{y}}$

y también hay una onda plana reflejada ( $E_r$ debe deducirse) tal que:

Campo eléctrico: $\mathbf{E} = E_r \hat{\mathbf{x}}$

Campo magnético: $\mathbf{H} = -\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}}\, E_r \hat{\mathbf{y}}$

El signo opuesto asumido en el campo magnético representa una onda con vector de onda que apunta en el $-\hat{\mathbf{z}}$ dirección. La onda incidente va en la dirección $+\hat{\mathbf{z}}$ . En el metal, el campo tiene la siguiente dependencia, como puede demostrarse a partir de la búsqueda de una solución de onda plana de las ecuaciones de Maxwell (de nuevo, hay que deducir E_m):

Campo eléctrico: $\mathbf{E} = E_m \,e^{\gamma\,z}\, \hat{\mathbf{x}}$

Campo magnético: $\mathbf{H} = -i\,\frac{\gamma}{\omega\,\mu}\, E_m \,e^{\gamma\,z}\, \hat{\mathbf{y}}$

Densidad actual: $\mathbf{J} = \sigma\,E_m \,e^{\gamma\,z}\, \hat{\mathbf{x}}$

donde el número de onda complejo es:

$\gamma = \frac{-1+i}{\sqrt{2}} \sqrt{\omega\mu\left(\sigma-i\, \omega\,\epsilon\right)}$

se elige (hay dos posibles $\pm$ de las ecuaciones de Maxwell para $\gamma$ ) para que el campo decaiga exponencialmente como $z\rightarrow\infty$ .

A partir de las condiciones de contorno electromagnéticas estándar en la interfaz (continuidad de las componentes tangenciales de $\mathbf{E}$ y $\mathbf{H}$ a través de la interfaz):

$E_i + E_r = E_m$

$E_i - E_r = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \frac{\gamma}{i\,\omega\,\mu}\,E_m$

de donde:

$E_m = \frac{2\,E_i}{1 + \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \frac{\gamma}{i\,\omega\,\mu}}$

Ahora, la fuerza promediada en el tiempo por unidad de superficie sobre el metal es:

$\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left(\int\limits_0^\infty \mathbf{J} \wedge \mathbf{B}^* . \hat{\mathbf{z}}\right) = \frac{\mathrm{Im}(\gamma)\,\sigma\,|E_m|^2}{4\,\omega\,\mathrm{Re}(\gamma)} = \frac{\mathrm{Im}(\gamma)\,\sigma\,|E_i|^2}{\omega\,\mathrm{Re}(\gamma) \left|1 + \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \frac{\gamma}{i\,\omega\,\mu}\right|^2} $

Ahora la potencia promediada en el tiempo por unidad de superficie que incide en la interfaz (calculando el vector Poynting) es:

$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} |E_i|^2$

para que el momento transferido al metal por cada unidad de energía incidente sea

$\frac{2\,\mathrm{Im}(\gamma)\,\sigma}{\omega\,\mathrm{Re}(\gamma) \left|1 + \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \frac{\gamma}{i\,\omega\,\mu}\right|^2} \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} $

Esta es la proporción que buscamos. Para el caso $\sigma\rightarrow \infty$ esta proporción se acerca a $\frac{2}{c}\frac{\mu}{\mu_0}$ . Para $\mu = \mu_0$ , éste es el doble del valor calculado en los métodos 1 y 2 porque la conductividad infinita excluye el campo del metal, no hay pérdidas y la luz se refleja sin pérdidas. Por lo tanto, al igual que hay un impulso $2\,p_z$ transferido a una pared por un elástico rebote de una pelota inicialmente con momento con componente $p_z$ en la pared, también el impulso transferido al espejo desde la energía $W$ es el doble del momento de la luz entrante, es decir $\frac{2\,W}{c}$ .

Ahora dejamos que $\sigma\rightarrow 0$ para que $\gamma\approx -i \,\omega\,\sqrt{\mu\,\epsilon} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \sigma$ . Terminaré este caso más tarde, pero da la misma respuesta que los métodos 1 y 2 cuando $\mu = \mu_0$ y $\epsilon = \epsilon_0$ es decir, la luz pasa sin reflexión a un medio débilmente conductor y es absorbida.