Clasificación de las isometrías del plano euclidiano

Question

Supongo que esta pregunta ya se ha hecho aquí, pero no la encuentro.

¿Hay alguna forma sencilla de demostrar que hay 5 posibilidades de isometrías en el plano euclidiano? A saber: Identidad, Reflexión, Rotación, Traslación y Reflexión por deslizamiento.

Los artículos que he leído (incluida la wikipedia) se limitan a decir que se puede demostrar, pero tengo curiosidad por saber cómo demostrarlo. ¿Podría recomendarme un libro, etc. donde se describa este tema? ¿O publicar la prueba aquí?

Answer 1

Cualquier isometría puede describirse completamente por su efecto en tres puntos, a menos que éstos se encuentren en una sola línea. Esto es así porque para un punto cualquiera, conociendo las distancias a los tres puntos definitorios de la preimagen se definirán tres círculos de radio correspondiente sobre los puntos de la imagen. Dos de ellos se cruzarán en dos puntos, y el tercero seleccionará uno de estos dos puntos de intersección. Así que ahora tiene alguna herramienta para describir todo isometrías.

A continuación, coloca cada punto de la imagen en su sitio, uno tras otro. Puedes mapear el primer punto usando una traslación, preservando la posición relativa del segundo y tercer punto en el proceso. A continuación, puedes mapear el segundo punto utilizando una rotación alrededor de la imagen del primero, ya que su distancia al primer punto se conserva. A menos que el tercer punto ya esté en su posición final, puedes utilizar una reflexión en el eje que abarcan los dos primeros puntos de la imagen para llevarlo allí. Así que, en conjunto, cualquier isometría puede describirse mediante una traslación (quizás mediante un desplazamiento cero), seguida de una rotación (quizás mediante $0°$ ) posiblemente seguido de una reflexión.

Ahora sólo hay que analizar las posibles formas de interacción de estos tres pasos. Una traslación no nula y una rotación no nula juntas son simplemente una rotación alrededor de algún otro centro. Una rotación seguida de una reflexión es una reflexión en alguna línea diferente. Una traslación seguida de una reflexión en un eje paralelo a la dirección de la traslación es una reflexión de deslizamiento. Si el eje de reflexión no es paralelo a la dirección de la traslación, la combinación es una reflexión en un eje diferente. Y si todos los pasos son transformaciones de identidad, entonces también lo es el resultado.

Answer 2

He aquí un esbozo de cómo podría demostrarse utilizando la geometría clásica sin coordenadas:

Primero divide según si hay algún punto fijo de la isometría (es decir, algún punto que la isometría mapea a sí misma).

Si hay es al menos un punto fijo, entonces es fácil ver que la isometría debe ser o bien una rotación alrededor de ese punto (posiblemente en 0°, es decir, la identidad), o bien una rotación seguida de una reflexión sobre una recta que pasa por el punto fijo. Y en este último caso, la composición de una rotación y una reflexión siempre equivale a una reflexión sobre alguna recta (normalmente diferente).

Supongamos que ahora hay no punto fijo. Entonces podemos demostrar primero que existen puntos colineales $X$ , $Y$ y $Z$ tal que $X$ mapas a $Y$ que se asigna a $Z$ . Para ver esto, seleccione un punto arbitrario $A$ y que el mapa de isometría $A$ a $B$ , $B$ a $C$ y $C$ a $D$ . Si $A$ , $B$ y $C$ son colineales, entonces hemos terminado. De lo contrario, los triángulos $ABC$ y $BCD$ son congruentes e isósceles. Los centros de las circunferencias de $ABC$ y $BCD$ ambos se encuentran en la bisectriz perpendicular de $BC$ y tienen la misma distancia a $BC$ . No pueden estar en el mismo lado de $BC$ porque entonces serían el mismo punto, que entonces se mapearía a sí mismo, en contra de las suposiciones. Así que están en lados opuestos de $BC$ lo que implica que $A$ y $D$ están en lados opuestos de $BC$ . Por lo tanto (por los ángulos verticales) los puntos medios de $AB$ , $BC$ y $CD$ son colineales, y es evidente que tienen que mapearse entre sí.

Así, en cualquier caso, una isometría sin puntos fijos debe tener colineales $X\ne Y\ne Z$ tal que $X\mapsto Y \mapsto Z$ . Entonces también debemos tener $X\ne Z$ porque de lo contrario el punto medio de $XY$ sería igual al punto medio de $YZ$ a la que mapea, y suponemos que no hay puntos fijos. En otras palabras, $Y$ es entre $X$ y $Z$ .

Ahora es fácil ver que la acción de la isometría de cualquier punto en la línea $XYZ$ debe ser trasladarlo a una distancia de $|XY|$ a lo largo de la línea porque es la única manera de que conserve sus distancias con ambos $X$ y $Y$ como ellos traducir a lo largo de la línea.

Además, una vez dada la acción de la isometría sobre esa línea, sólo hay dos imágenes posibles de cada punto en el plano en el exterior la línea uno en el mismo lado de la línea, y otro en el lado opuesto. Como la isometría es continua, debe ser la mismo elección de "mismo lado" o "lado opuesto" para todos los puntos de un lado de la línea, y luego, por inyectividad, también para los puntos del otro lado. "Mismo lado" significa que la isometría es una traslación del plano; "lado opuesto" es una simetría de deslizamiento.

---

Ejercicio: ¿Por qué este argumento no funciona para el plano hiperbólico? ¿Significa eso que el plano hipermólico admite clases de conjugación adicionales de isometrías? (Pista: sí.) Descríbalas.

Answer 3

Como mencionó @QMechanic en un comentario, las ecuaciones de Navier-Stokes son simplemente $F = ma$ pero se ven mucho más aterradores. Asumiendo un fluido incompresible, tienes:

$$ \rho \frac{D u_i}{D t} = -\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_b $$

donde $\rho$ es la densidad (masa por unidad de volumen), $D u_i /D t$ es la aceleración (escrita en forma lagrangiana, en lugar de euleriana para mayor claridad), $\sigma$ es el tensor de tensiones de Cauchy (generalmente expandido para sacar la presión de la traza, $\sigma_{ij} = -p \delta_{ij} + \tau_{ij}$ donde ahora $\tau_{ij}$ es el tensor de esfuerzo viscoso), y $f_b$ es la fuerza del cuerpo (cosas como la gravedad).

Todo lo que está a la derecha es la suma de fuerzas, y la izquierda es la masa por la aceleración.