Demuestre que toda función continua $f: S^{n} \to S^{1}$ es nulo-homotópico

Question

Demuestre que para $n \geq 2$ toda función continua $f: S^{n} \to S^{1}$ es nulo-homotópico

Esta pregunta ya ha sido formulada aquí pero no entiendo por qué es necesario utilizar el recubrimiento universal:

Desde $S^n$ es contráctil para $n \geq 2$ tenemos que para cualquier espacio topológico dado $Z$ y para toda función continua $f: S^n \to Z$ , $f \simeq ct_z$ para algunos $z \in Z$ donde $ct_z$ es la función constante $ct_z :S^n \to Z$ tal que $ct_Z(x)=z$ por cada $x$ . ¿Por qué no funciona para este caso para mostrar que $f$ ¿es nulo homotópico?

Answer 1

$S^n$ no se puede contraer! Los bucles en $S^n$ son contraíbles, es decir: $S^n$ está simplemente conectado para $n \geq 2$ .

Se puede comprobar esto observando que $H_n(S^n)$ o $\pi_n(S^n)$ es no trivial, y observando que no tiene el tipo de homotopía de un punto. (La prueba más fácil que conozco utiliza la aproximación celular, pero estoy seguro de que esto no es terrible).

Una pista: utilizar el hecho de que $\pi_1(S^n)=0$ para $n \geq 2$ (la forma más fácil que conozco de demostrar esto es mediante aproximación celular) para observar que para cualquier mapa $f:S^n \to S^1$ tenemos que $f_*: \pi_1(S^n) \to \pi_1(S^1)$ es trivial, y por tanto un subgrupo, por lo que podemos aplicar el lema de elevación a $\mathbb R$ y el mapa de cobertura $p:\mathbb R \to S^1$ .