Prueba $(a^{-1})^{-1}=a$ en un conjunto con una sola identidad e inversa unilateral.

Question

$G$ es un conjunto cerrado bajo mutiplicación, asociativo, y cada elemento tiene una identidad derecha y una inversa derecha. Tengo que demostrar que $(a^{-1})^{-1}=a$ .

¿Es posible probar esto sin asumir $a^{-1}$ tiene un inverso de dos lados?

La prueba que se me ocurrió fue $a^{-1}*(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*a^{-1}=e=a^{-1}*a=a*a^{-1}$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

En tu pregunta una identidad correcta debe ser común para todos los elementos. Entonces la solución es la siguiente:

Dejemos que $x$ es un inverso de la derecha para $a^{-1}$ . Entonces $a^{-1}a=a^{-1}ae=a^{-1}aa^{-1}x=a^{-1}ex=a^{-1}x=e$ Así que $a^{-1}$ es un inverso de la izquierda para $a$ .