Encontrar el rango de la función $f(x) = |x-6|+x^2-1$

Question

encontrar el rango de $f(x) = |x-6|+x^2-1$

$$ f(x) = |x-6|+x^2-1 =\left\{ \begin{array}{c} x^2+x-7,& x>0 .....(b) \\ 5,& x=0 .....(a) \\ x^2-x+5,& x<0 ......(c) \end{array} \right. $$

de la ecuación (b) obtuve $$f(x)= \left(x+\frac12\right)^2-\frac{29}4 \ge-\frac{29}4$$
y de la ecuación (c) obtuve $$f(x)= \left(x-\frac12\right)^2+\frac{19}4 \ge\frac{19}4$$

y la ec(b) me dice que también pasa por 5 y así generalizar todo esto y encontrar su rango es $\left[-\frac{29}4 , \infty\right)$

pero el gráfico dice que su rango es $(5, \infty)$

Answer 1

No son necesarios los derivados. Para $x\ge6$ la función es $$ f(x)=x^2+x-7 $$ La gráfica es un arco de parábola con su eje en $x=-1/2$ por lo que en este intervalo la función es creciente, con su mínimo en $6$ : $f(6)=35$ .

Para $x<6$ la función es $$ f(x)=x^2-x+5 $$ cuya gráfica es un arco de parábola con su eje en $x=1/2$ . Desde $1/2<6$ el mínimo de $f$ se alcanza en $1/2$ : $f(1/2)=19/4$ .

Por lo tanto, la gama es $(19/4,\infty)$ porque, claramente, $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ .

Answer 2

$$f'(x)=\frac{x-6}{|x-6|}+2x$$

$f'(x)=0\iff x=\frac{1}{2}$ y $f'(x)<0$ si $x<\frac{1}{2}$ y $f'(x)>0$ si $x>\frac{1}{2}$ por lo que el rango es $[f(\frac{1}{2}),+\infty [$ .

Answer 3

Deberías tener $x-6<0$ , $x-6=0$ y $x-6>0$ respectivamente. Siempre se busca la expresión completa dentro del valor absoluto.

Ah, y otra cosa: al encontrar ese mínimo, hay que comprobar si está en el dominio. Por ejemplo, tienes $x>0$ (debería ser $x>6$ ) para (b), pero el mínimo se da en $x=-\frac{1}{2}$ .