Para un conjunto de caracteres finito $\Sigma$ ¿Cuál sería una prueba formal de que $\Sigma^{+} = \Sigma^{*}\Sigma$ ?

Question

Sea un conjunto de caracteres finito $\Sigma$ como en la convención de informática. $\Sigma^{*}$ se define como en la notación estelar de Kleene ( https://en.wikipedia.org/wiki/Kleene_star ) con $\Sigma^{+}$ definido como Kleene más de $\Sigma$ .

Ahora que se está probando $\Sigma^{+} = \Sigma^{*}\Sigma = \{ab | a \in \Sigma^{*} \wedge b \in \Sigma \}$ . Sé que puedo probar diciendo porque todas las cuerdas en $\Sigma^{*}$ contienen caracteres finitos, añadir otro carácter a la derecha no cambia la finitud del carácter, y porque $\Sigma^{*}$ contiene un carácter vacío, $\Sigma^{+} = \Sigma^{*}\Sigma$ . Sin embargo, no encuentro una manera formal de demostrarlo.

¿Alguien puede ayudar aquí?

Answer 1

Si utilizas las definiciones del artículo de Wikipedia al que has enlazado, tienes

$$\begin{align*} \Sigma^+&=\bigcup_{k\ge 1}\Sigma_k\\ &=\bigcup_{k\ge 0}\Sigma_{k+1}\\ &=\bigcup_{k\ge 0}\left(\Sigma_k\Sigma\right)\\ &=\left(\bigcup_{k\ge 0}\Sigma_k\right)\Sigma\\ &=\Sigma^*\Sigma\;. \end{align*}$$