¿Esta prueba es correcta/completa?

Question

Dejemos que $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}c_kx^k$ sea un polinomio donde $c_0$ y $c_n$ tienen diferentes cantos. Mostrar $\exists x_0 \in \mathbb{R}$ tal que $f(x_0)=0$ .

Mis trabajos hasta ahora: Supongamos que $c_0>0$ y por lo tanto $c_n<0$ . Si no es el caso, podemos simplemente mirar $f^*(x)=-f(x)$ y $f^*(x)$ satisfará esta condición cuando $f^*(x_0)=0$ implica $f(x_0)=0$ . Con esta suposición sabemos que $f(0)>0$ . Entonces, para un tamaño suficientemente grande $x_l$ que tenemos: $$|c_nx_l^n|>\left|\sum\limits_{k=0}^{n-1}c_kx_l^k\right|$$ Por lo tanto, como $c_n<0$ se deduce que: $$f(x_l)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}c_kx_l^k-|c_n|x_l^n<0$$ Ahora, porque $f(x)$ es un polinomio y por tanto continuo, podemos aplicar el teorema del valor intermedio para concluir que $\exists x_0 \in [0,x_l]$ tal que $f(x_0)=0$ .

Answer 1

Es más fácil si se toma el límite en $+\infty$ .

Supongamos que $c_0<0$ y $c_n>0$ primero.

Entonces $f(0)=c_0<0$ , mientras que $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}c_nx^n=+\infty$ .

Así que podemos encontrar $x>0$ tal que $f(x)>0$ .

Por el teorema del valor intermedio, existe $x_0>0$ tal que $f(x_0)=0$ .

Te dejo hacer el caso $c_0>0$ y $c_n<0$ .