Encontrar el límite de una función dada la ecuación diferencial

Question

No estoy seguro de cómo abordar esta cuestión. Lo he escrito como: $y(x)=f(x)+2$ desde $y(0)=2$ pero estoy asumiendo que $f(0)=2$ . Sin embargo, esto no me ayuda realmente, ya que se dice que la ecuación diferencial no debe ser resuelta.

Answer 1

Dejemos que $f(y)$ sea el lado derecho de la EDO. Nótese que $f(y) <0$ para $y \in (1,7)$ . Tenga en cuenta que $1$ es un equilibrio (estable, pero eso no importa). En particular, la solución debe satisfacer $y > 1$ para todos $x \ge 0$ .

Por lo tanto, si empezamos en $y(0) = 2$ entonces $y$ disminuirá y está acotado por debajo de por $1$ por lo que tiene un límite $y^*$ . Debemos tener $y^* = 1$ , de lo contrario tenemos $y'(x) \le - \delta$ para algunos $\delta>0$ para todos $x\ge 0$ que es una contradicción.

Answer 2

Para valores pequeños de $x, y'(x) < 0$ Lo que hará que y(x) sea una función decreciente. Pero como $y(x)$ se acerca a $1, y'(x)$ se acerca a $0.$ ¿Y qué pasa después? $y(x)$ se convierte en estacionario.