¿Qué se entiende exactamente por simetría en física?

Question

Me refiero a la invariancia del Lagrangiano bajo transformaciones de Lorentz.

Hay dos posibilidades:

• La física no depende de la forma en que la describimos (simetría pasiva). Podemos elegir el marco de referencia inercial que queramos para describir un sistema físico. Por ejemplo, podemos elegir que el tiempo inicial sea $t_0=0$ o $t_0=4$ (conectados por una traslación en el tiempo $t \rightarrow t' = t + a_0$ ). Equivalentemente no importa donde pongamos el origen de nuestro sistema de coordenadas (conectado por una traslación en el espacio $x_i \rightarrow x_i' = x_i + a_i$ )) o si utilizamos un sistema de coordenadas de la mano izquierda o de la mano derecha (conectadas por una transformación de paridad). La física debe ser independiente de tales elecciones y, por tanto, exigimos que la lagrangiana sea invariante bajo las transformaciones correspondientes.
• La física es la misma en todas partes, en cualquier momento (simetría activa). Otra perspectiva sería que la invariancia de traslación en el tiempo y el espacio significa que la física es la misma en todo el universo en cualquier momento. Si nuestras ecuaciones son invariantes bajo las traslaciones temporales, las leyes de la física eran las mismas $50$ hace años y lo será mañana. Las ecuaciones invariantes bajo traslaciones espaciales se mantienen en cualquier lugar. Además, si un lagrangiano dado es invariante bajo transformaciones de paridad, cualquier experimento cuyo resultado dependa de este lagrangiano encuentra los mismos resultados que un experimento equivalente, reflejado. Un supuesto básico de la relatividad especial es que nuestro universo es homogéneo e isotrópico y creo que de ahí puede venir la justificación de estas simetrías activas.

La primera posibilidad es realmente fácil de aceptar y durante bastante tiempo pensé que por eso exigimos que la física sea invariante de traslación, etc. Sin embargo, tenemos la violación de la paridad. Esto debe ser algo real, es decir, no puede significar que la física sea diferente si la observamos en un espejo. Por lo tanto, cuando comprobamos si un lagrangiano dado es invariante bajo paridad, debemos transformarlo mediante una transformación activa y no sólo cambiar nuestra forma de describir las cosas.

¿Qué entendemos realmente por simetrías del lagrangiano? ¿Qué posibilidad es correcta y por qué? Cualquier referencia a una buena discusión de estos asuntos en un libro o similar sería genial.

Answer 1

Puede que me equivoque en esto, pero a pesar de las similitudes, estas dos cosas que describes son severamente diferentes, creo.

Su primer punto está relacionado con la llamada "covarianza general". Es algo que está en vigor todo el tiempo. No ves ningún tipo de cuadrícula de coordenadas en ninguna parte cuando miras por la ventana, y no ves ningún punto espacial o temporal designado como "punto de partida" (ignorando cosas como el big bang ahora, etc.), por lo tanto, es lógico que tales construcciones existan sólo para ayudar a describir cosas matemáticamente, por lo que la física debería ser independiente de las coordenadas.

Lo segundo que dices no siempre ocurre. Por ejemplo, si tienes una lagrangiana explícitamente dependiente del tiempo, entonces los desplazamientos en el tiempo NO dejarán invariante a la lagrangiana, y la energía no se conservará (dicho esto, en realidad, la energía SE CONSERVA, pero por ejemplo, si tienes rozamiento, generalmente se dice que no se conserva, ya que se elimina de la suma de energías cinética y potencial).

Asimismo, si se tiene un campo de potencial esféricamente simétrico, las rotaciones del sistema físico dejarán invariante el Lagrangiano, ya que el campo de potencial es igual para todas las rotaciones alrededor del origen fijo. PERO si se tiene un campo de potencial cilíndricamente simétrico, cuyo eje es el $z$ eje, entonces las rotaciones alrededor de $z$ dejará invariante el Lagrangiano, pero las rotaciones alrededor del $x$ o $y$ ejes NO dejará invariante el Lagrangiano.

Answer 2

La simetría es un invarianza de un objeto -más a menudo un espacio vectorial o colector- con respecto a un transformación . Por ejemplo, decimos que un objeto tiene simetría reflexiva sobre un plano si no se ve modificado por una reflexión en ese plano.

De forma más abstracta, solemos pensar en cualquier mapa biyectivo como una "preservación" reversible de la información, de forma que un objeto queda esencialmente inalterado ("invariante") por la acción del mapa. Por eso, a veces veremos la palabra simetría como casi un sinónimo de biyección.

Una lagrangiana tiene simetría si no se ve modificada por un mapa biyectivo impartido al espacio de configuración o a la variedad en la que se define la lagrangiana. La simetría es continua si la transformación es miembro de una familia (grupo de Lie) de tales biyecciones que está parametrizada por coordenadas euclidianas y tal que la parametrización es una función continua de la operación de composición del mapa.

Answer 3

Nos referimos a ambas cosas, aunque a veces en momentos diferentes.

El significado depende de cómo pretendamos aplicar la mecánica lagrangiana. Podemos querer decir "Estamos midiendo este sistema de esta manera, pero podemos demostrar que no importa de qué manera lo medimos porque el comportamiento del sistema es independiente de nuestro sistema de medición". Y eso está muy bien. Es útil poder decir que las mediciones de la gente de nuestro sistema sólo pueden estar en desacuerdo con nuestras mediciones de una manera consistente.

También decimos "predecimos que el comportamiento del sistema X será así, debido a estas simetrías con el sistema Y". Por ejemplo, a menudo aprovechamos las simetrías de las constantes adimensionales para hacer un modelo de túnel de viento a escala y declarar el comportamiento previsto de otro objeto que aún no se ha medido.

En el primer caso, la ciencia nos permite medir y compartir nuestras mediciones, con la certeza de que serán útiles para otros. De la segunda manera, utilizamos la ciencia para hacer predicciones sobre lo que está por venir.