Dejemos que $X=\mathbb{Q}\cap [1,2]$ es decir $X$ es el conjunto de números racionales entre 1 y 2 inclusive. Podemos considerar $X$ sea un espacio métrico dotándolo de la función de distancia habitual, es decir, para $x,y \in X$ ponemos $d(x,y)=|x-y|$ . Ahora definimos $f:X\rightarrow X$ por $f(x)=x-\dfrac{x^2-2}{2x}$ . Hay que comprobar que si $x\in X$ entonces $f(x)\in X$ también. Esto significa comprobar que si $x$ es racional y en $[1,2]$ entonces $f(x)$ también es racional y en $[1,2]$ . Demostrar que $f$ es un mapeo de contracción pero $f$ no tiene un punto fijo. Este es mi ejercicio de tarea, pero no soy bueno en matemáticas, así que por favor siéntanse libres de ayudarme. Muchas gracias.
Respuestas
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NARKOZ
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Ok, primero puedes transformar $f(x)$ en $f(x) = \frac{x^2+2}{2x}$ (tomando $x$ a la fracción y restando de $2x^2$ el valor $x^2-2$ ). Entonces puedes notar, que en el numerador y el denominador hay números racionales, ya que multiplicas y sumas números racionales. Así que la fracción completa es racional.
Ahora: ¿está en $[1,2]$ ? Suponiendo que $x \gt 0$ que tenemos:
$\frac{x^2+2}{2x} \ge 1$ si $x^2+2 \ge 2x$ si $x^2 - 2x + 2 \ge 0$ si $(x - 1)^2 + 1 \ge 0$ lo cual es cierto para cualquier $x$ .
¿Es menor que 2?
$\frac{x^2+2}{2x} \le 2$ si $x^2 + 2 \le 4x$
Sugerencia para ello : analiza los valores máximos y mínimos de los lados apropiados de la desigualdad.
Ahora quieres demostrar que es una contracción. Esto significa que quieres que sea Lipschitz, y la constante de Lipschitz debe ser menor que uno. En estas situaciones la forma más fácil es utilizar la Teorema de Lagrange . La derivada es una función monótona simple (wolframio dice: $1/2 - \frac{1}{x^2}$ ), por lo que se puede observar fácilmente que su supremum (en realidad supremum de su módulo) es menor que 1.
Y, por último, una parte de la tarea menos calculada: ¿Por qué no hay un punto constante?
Si se considera f como una función de $[1,2]$ (sin intersección con números racionales), entonces todos los cálculos anteriores siguen siendo ciertos. Dejemos que se llame $F$ . $[1,2]$ es un espacio métrico completo, por lo que una contracción debe tener un punto constante y es única. Se puede calcular fácilmente que $F(x)=x$ se mantiene para $x=\heartsuit$ Así que el único punto constante de $F$ es $\heartsuit$ . Desde $\heartsuit$ no es un número racional sabemos que $f$ no tiene puntos constantes.
Bryan Roth
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A medio camino entre un comentario y una respuesta: el mapa $f$ no es otra cosa que la "función de mejora" $T(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$ se estudia cuando se aplica el método de Newton para buscar las raíces de una función diferenciable $f$ : aquí la función es $f(x) = x^2-2$ .
Además de proporcionar una orientación general, esta observación es directamente útil en al menos una parte del problema: un vistazo a la fórmula anterior para $T$ muestra que un número real $c$ es un punto fijo para $T$ si es una raíz de $f$ : $T(c) = c \iff f(c) = 0$ . Así, los puntos fijos de $T$ en todos los $\mathbb{R}$ son $\pm \sqrt{2}$ . Como no son números racionales, vemos que la función dada (que llamo $T$ ) no tiene puntos fijos en $\mathbb{Q} \cap [1,2]$ .
Recientemente he tratado el método de Newton en mi curso de "Cálculo de Spivak": se pueden consultar algunos apuntes al respecto aquí . Un punto que me pareció interesante fue que en el análisis de la convergencia del método de Newton se utilizan mapeos de contracción pero no el principio de mapeo de la contracción. Esto se reduce al punto mencionado anteriormente: en general, $T$ tiene un punto fijo si $f$ tiene una raíz. Ahora, por supuesto, sólo a partir de una función diferenciable $f$ no necesita tener ninguna raíz (por ejemplo, si $f(x) = e^x$ , $T(x) = x-1$ ). Pero se puede demostrar que si $f$ tiene una raíz simple $c$ entonces hay un intervalo $[c-\delta,c+\delta]$ que es $T$ -y en la que $T$ es una cartografía de contracción. Entonces la tasa de convergencia al punto fijo conocido es útil, ¡y para ello no necesitamos la completitud!
