Ecuación paramétrica racional de una circunferencia a partir de una recta

Question

He descubierto que podemos definir una ecuación circular de la siguiente manera: $$\begin{cases}x(t)=\dfrac{t}{t^2+(kt+b)^2},\\y(t)=\dfrac{kt+b}{t^2+(kt+b)^2},\end{cases}$$ donde $k, b$ son números reales. Por ejemplo, si ponemos $b=1, k=-1$ la ecuación paramétrica parece corresponder -excepto la $t$ tal que el denominador es cero - a un círculo $$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}$$ .

Quiero entender por qué es válida esta parametrización, y cómo podemos obtener el centro y el radio del círculo utilizando la ecuación de la línea correspondiente $y=kx+b$ .

De hecho, he estado haciendo un ejercicio de libro de texto que involucra números complejos, y la primera parte del ejercicio pedía demostrar que $f(z)=\overline{z}^{-1}$ es un autoinverso, es decir $f(f(z))=z$ y en la segunda parte se preguntaba cuál es la curva de la imagen de esta función con el dominio restringido a $z=t+(k\cdot t+b)i$ para algunas constantes fijas $k,b$ y un parámetro $t$ era. Tales números complejos $z$ se puede visualizar con la ecuación de la línea $y=k\cdot x + b$ . La ecuación paramétrica del círculo corresponde a las partes real e imaginaria de una imagen de $f$ . Así, como era parte de un ejercicio, me interesa especialmente explicar esta relación entre un círculo y una línea utilizando la propiedad de que $f$ es una involución. Otras explicaciones también son bienvenidas.

Answer 1

Al elevar al cuadrado las ecuaciones paramétricas y sumarlas se obtiene $$x^2+y^2=\frac {t^2+(kt+b)^2}{(t^2+(kt+b)^2)^2}=\frac 1{t^2+(kt+b)^2}.$$ Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas pueden reescribirse como $$x=t{(x^2+y^2)}, \quad y=(kt+b)(x^2+y^2).$$ Eliminación de $t$ y reordenando da $$x^2+y^2+\frac kb x - \frac1b y=0\\\left(x+\frac k{2b}\right)^2+\left(y-\frac 1{2b}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{k^2+1}}{2b}\right)^2$$ Así que el centro es $$\left(-\frac k{2b}, \frac 1{2b}\right)$$ y el radio es $$\frac {\sqrt{k^2+1}}{2b}.$$