¿Cómo encuentro una base dual dada la siguiente base?

Question

$V = \Bbb{R}^3$ y tiene la base$\mathcal{B} = \{\vec{e_1}-\vec{e_2},\vec{e_1}+\vec{e_2},\vec{e_3}\}$

¿Cómo encuentro la base dual? Esta no es tarea, sino un ejemplo que estoy luchando por comprender. Esta es una pregunta simple, por lo que realmente agradecería que no se saltara ningún detalle, sin importar la trivialidad, ya que puede haber brechas fundamentales en mi comprensión.

Answer 1

Sea$P$ el cambio de matriz de base de la base canónica$\mathcal C$ a la base$\mathcal B$. Es la matriz del mapa de identidad de$(V,\mathcal B)$ a$(V,\mathcal C)$, y$P^{-1}$ es la matriz del mapa de identidad de$(V,\mathcal C)$ a$(V,\mathcal B)$.

Por dualidad,$\color{red}{{}^\mathrm t\mkern-1.5muP^{-1}}$ es la matriz del mapa de identidad de$(V^*,\mathcal C^*)$ a$(V^*,\mathcal B^*)$. Los vectores de columna de esta matriz son las coordenadas de los vectores de$\mathcal B^*$ en la base canónica del espacio dual$(e_1^*,e_2^*,e_3^*)$.

Answer 2

Espero que conozca la definición de una base dual (de lo contrario, consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Dual_basis).

Si desea obtener la base dual de una base ${e_1,e_2,e_3}$ simplemente tome la matriz $A=[e_1,e_2,e_3]$. Dado que sus columnas son una base, puede invertirlo, de modo que $A^{-1}*A = E$.

Recuerda cómo multiplicas las matrices... $E[i,j] = A^{-1}[i,1]A[1,j]+A^{-1}[i,2]A[2,j] + A^{-1}[i,3]*A[3,j]$.

Así que las filas de su matriz invertida son la base dual.