Probar que las matrices similares tienen el mismo rango

Question

He visto algunas pruebas en Internet que hacen uso del mapa de transformación. Pero no pude entender los métodos ya que lo que aprendí sobre el mapa de transformación es muy superficial. ¿Puede utilizar una forma lo más sencilla posible de explicarlo? Y, por ahora, limite las matrices similares a matrices cuadradas. Gracias !

Answer 1

Por definición,$A\sim B$ si existe una matriz invertible$C$ tal que$A=CBC^{-1}$. Si$v$ está en la imagen de$B$, digamos$v=Bw$ , entonces$Cv=ACw$ está en la imagen de$A$. Por tanto,$C$ mapea$\operatorname{Im}(B)\to \operatorname{Im}(A)$. Como$C$ es inyectivo, concluimos$\operatorname{rank}(A)\ge \operatorname{rank}(B)$. Por simetría, también$\operatorname{rank}(B)\ge \operatorname{rank}(A)$.