$C(X)$ es separable cuando $X$ ¿es compacto?

Question

$X$ es un espacio métrico compacto, $C(X)$ es separable cuando $X$ es compacto donde $C(X)$ denota el espacio de funciones continuas sobre $X$ . ¿Cómo demostrarlo?

Y si $X$ es sólo un espacio compacto de Hausdorff, entonces $C(X)$ ¿sigue siendo separable? O si $X$ es sólo un espacio compacto (no necesariamente Hausdorff), entonces $C(X)$ ¿sigue siendo separable?

Por favor, ayúdenme. Gracias de antemano.

Answer 1

Teorema. Si $X$ es Hausdorff compacto entonces $C(X)$ es separable si $X$ es metrizable.

Hay una incrustación natural $x\in X\to \delta _x\in \mathcal{M}(X)$ (más precisamente en la bola unitaria de $\mathcal{M}(X)$ ). Se trata de un homeomorfismo para la topología débil* de $\mathcal{M}(X)$ . Si $C(X)$ es separable entonces $(\mathcal{M}(X), w*)$ tienen una bola unitaria compacta metrizable. Así que $X$ es metrizable.

Para la inversa, suponga $X$ es un espacio Hausdorff compacto metrizable. Sea $d$ sea una métrica que induzca la topología y $(x_n)$ un subconjunto denso contable de $X$ . Definir $d_n: x\in X \to d_n(x):=d(x,x_n)$ . Es una función continua. Es fácil comprobar que el álgebra generada por $1$ y $(d_n)_n$ separar los puntos en $X$ por lo que por el teorema de Stone Weierstrass esta subálgebra es densa en $C(X)$ . Considerando la combinación lineal con coeficiente racional del elemento de esta subálgebra es fácil ver que $C(X)$ es separable.