Hola, ¿alguien podría ayudar con la solución del problema 7 del capítulo 5 de Evans PDE? 
Creo que se trata básicamente de comprobar qué $p$ permite $$\int_{\Omega} |u|^p dx+\int_{\Omega}|Du|^p dx<\infty$$ ? Pero tiendo a generar resultados desordenados como siempre...
Por favor, ayuda...
Primero hay que comprobar que $u$ tiene una derivada débil. Tienes un candidato obvio para el gradiente débil (sólo tienes que tomar el gradiente por separado en los cuatro trozos), y sólo tienes que comprobar que funciona. También puede ser que tengas un teorema que te ahorre cálculos en este punto, teniendo una derivada débil todavía debe ser comprobada de alguna manera.
Entonces tienes fórmulas explícitas para $u$ y $\nabla u$ . Observe que $|u|$ y $|\nabla u|$ están acotados (en realidad ambos están acotados por $1$ ).
O bien encuentras un límite superior para las integrales que tienes o simplemente afirmas que $u\in L^p(\Omega)$ y $|\nabla u|\in L^p(\Omega)$ . Para $p=\infty$ la norma no tiene representación integral, así que tienes que recurrir a la segunda. Si haces las integrales, no tienes que hacerlas de forma explícita y desordenada; bastará con una estimación muy aproximada.
¿Puedes terminar con estas ideas?
Comprobación de la diferenciabilidad débil: Si se sabe que el mínimo puntual de dos $W^{1,p}$ funciones está de nuevo en $W^{1,p}$ Puedes usar eso. También puedes hacerlo a mano. En las cuatro piezas (donde $u$ está definido), es fácil calcular el gradiente fuerte $\nabla u$ . Toma los cuatro valores $(\pm1,0)$ y $(0,\pm1)$ . Ahora tienes $\nabla u$ definidos en casi todas partes. Sólo tendrá que comprobar que para cualquier $\eta\in C_0^\infty(U)$ tienes $$ \int_Uu\nabla\eta=\int_U\eta\nabla u. $$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
