Estoy intentando modificar la prueba de que el $ \mathbb {Z}[ \sqrt {2}]$ es un dominio euclidiano para demostrar un resultado similar para $ \mathbb {Z}[ \sqrt {6}]$ . La idea es probar que $ \mathbb {Q}[ \sqrt {6}]$ es euclidiano que luego dará el resultado para $ \mathbb {Z}[ \sqrt {6}]$ . Según Dummit and Foote's Álgebra abstracta esto debería tener norma $d(a+b \sqrt {6})=|a^2-6b^2|$ . El resultado para $ \mathbb {Z}[ \sqrt {2}]$ se basa en el hecho de que para cualquier elemento $x$ en $ \mathbb {Q}[ \sqrt {2}]$ hay un elemento $x'$ en $ \mathbb {Z}[ \sqrt {2}]$ con $d(x-x')<1$ que luego se utiliza para mostrar que para $x=qy+r$ tenemos $$ d(r)=d(x-qy)=d \left (y \left ( \frac {x}{y}-q \right ) \right )=d(y)d \left ( \frac {x}{y}-q \right )<d(y) $$ Pero en este caso, me cuesta demostrar que podemos encontrar un elemento con $d(x-x')<1$ para $x \in\mathbb {Q}[ \sqrt {6}], x' \in\mathbb {Z}[ \sqrt {6}]$ . Considere $x=a+b \sqrt {6} \in\mathbb {Q}[ \sqrt {6}]$ . Lo más lejos que este elemento puede estar de cualquier $x'=a'+b' \sqrt {6} \in\mathbb {Z}[ \sqrt {6}]$ es cuando $|a-a'|= \frac {1}{2}=|b-b'| \Rightarrow $ $$ d(x-x')= \left | \left ( \frac {1}{2} \right )^2-6 \left ( \frac {1}{2} \right )^2 \right |= \frac {5}{4}>1 $$ ¿Qué puedo hacer para evitar este problema?
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Bien, esto es desde el punto de vista de lo que se llama "radio de cobertura" para las formas cuadráticas positivas. Tienes una forma cuadrática $f(x,y) = x^2 - 6 y^2.$ Ahora, con cualquier punto real $(a,b)$ en el avión, quieres encontrar un punto entero $(m,n)$ de tal manera que $$|f(a-m, b-n)| < 1. $$
Ahora, ¿cuál es el conjunto, centrado en torno a $(0,0)$ con $| x^2 - 6 y^2| < 1?$ Es una extraña forma de estrella de mar con cuatro brazos, a lo largo de líneas de pendiente $ \pm \frac {1}{ \sqrt 6}.$ La estrella de mar "centrada en" algún punto entero $(m,n)$ es $$ |(x -m)^2 - 6 (y - n)^2 | < 1. $$
Todo lo que se necesita para mostrar su desigualdad es que un conjunto finito de tales estrellas de mar cubre el cuadrado de la unidad ordinaria con las esquinas en $(0,0),(1,0),(1,1),(0,1).$
Bueno, la plaza $0 \leq x \leq 1, \; \; 0 \leq y \leq 1 $ está cubierto por ocho estrellas de mar centradas en $$ (0,0),(0,1), (1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1),(2,0),(2,1). $$ Las cuatro estrellas de mar centradas en las esquinas del cuadrado cubren todo excepto una curiosa forma de diamante alrededor de $( \frac {1}{2}, \frac {1}{2} ),$ los vértices del diamante siendo $$ \left ( \frac {1}{2}, \frac {1}{2} \sqrt { \frac {5}{6}} \right ), \; \left ( \frac {1}{2}, 1 - \frac {1}{2} \sqrt { \frac {5}{6}} \right ), \; \left ( \frac {1}{ \sqrt2 }, \frac {1}{2} \right ), \; \left ( 1 - \frac {1}{ \sqrt2 }, \frac {1}{2} \right ). $$ A continuación, de los cuatro cuadrados restantes, la estrella de mar (abierta) centrada en $(-1,0)$ cubre todo el rectángulo cerrado $$ \frac {1}{5} \leq x \leq \frac {1}{2}, \; \; \frac {1}{2} \leq y \leq \frac {3}{5}, $$ así que puedes ver que las cuatro estrellas de mar finales cubren el rectángulo cerrado $$ \frac {1}{5} \leq x \leq \frac {4}{5}, \; \; \frac {2}{5} \leq y \leq \frac {3}{5}, $$ cubriendo así completamente la forma de diamante que falta.
Antes tenía una solución con $20$ puntos, esto es más fácil. Aún así, Le sugiero que haga que una computadora dibuje las intersecciones de estos conjuntos con el cuadrado que yo le indique. Hice esto con una calculadora y algo de papel cuadriculado, pero tengo ojos especiales.
Obsérvese que las cuatro curvas límite de la estrella de mar centradas en el punto entero $(m,n)$ puede ser parametrizada por una variable $t$ como $$ \left ( m + \cosh t, \; n + \frac { \; \sinh t \;}{ \sqrt 6} \right ), $$ $$ \left ( m - \cosh t, \; n + \frac { \; \sinh t \;}{ \sqrt 6} \right ), $$ $$ \left ( m + \sinh t, \; n + \frac { \; \cosh t \;}{ \sqrt 6} \right ), $$ $$ \left ( m + \sinh t, \; n - \frac { \; \cosh t \;}{ \sqrt 6} \right ). $$
Esto fue probado por primera vez por Perron en 1932, con un mejor método por Oppenheim en 1934. Ver página 11 en survey.pdf en LEMMERMEYER
Tenga en cuenta que si hay $x'$ en tu red de tal manera que $|a-a'|= \frac12 = |b-b'|$ entonces también hay otro punto $x''$ en la red de tal manera que $|b-b''|= \frac12 $ y $|a-a''| = \frac32 $ . Y luego $d(x-x'')$ es...
Como ves, para conseguir un punto en el entramado cerca de tu dado $x$ el truco es no minimizar $|a-a'|^2$ y $|b-b'|^2$ por separado, pero para minimizar una diferencia ponderada adecuada. Ahora bien, si ha encontrado un punto de red tal que $6|b-b'|^2 <1$ entonces lo que hiciste funciona bien, ¿verdad? Si no, entonces como has notado, puedes encontrar un punto tal que $1 \leq 6|b-b'|^2 \leq \frac64 = \frac 32$ . Entonces, ¿cómo se elige $a$ ? El primer párrafo debería darte una idea.
