Si $a$ , $b$ y $y$ son las raíces de $3x^3+8x^2-1=0$ encontrar $(b+1/y)(y+1/a)(a+1/b)$

Question

Si a b e y son las raíces de $3x^3+8x^2-1=0$ encontrar $(b+1/y)(y+1/a)(a+1/b)$

Esto es lo que he hecho hasta ahora, pero aparentemente es incorrecto. Quiero saber por qué.

$(b+1/y)(y+1/a)(a+1/b)$

$(by+1/y)(ay+1/a)(ab+1/b)$

$(aby^2+1/ay)(ab+1/b)$

que es igual a $a^2b^2y^2 + 1/aby$

Usando la fórmula de Vieta obtengo:

$aby = -d/a$

$aby = 1/3$

Subbing en el original: $(1/9 + 1)/1/3$ que es... 10/27

La respuesta es supuestamente 2/3, quiero saber qué hice mal.

Answer 1

Tienes algunos errores:

1. $(b+\frac1y)(y+\frac1a)(a+\frac1b)\neq a^2b^2y^2+\frac1{aby}$ como escribe más arriba
2. $(b+\frac1y)(y+\frac1a)(a+\frac1b)\neq \frac{a^2b^2y^2+1}{aby}$ Al aplicar la fórmula que escribiste

La solución real es: $$(b+\frac1y)(y+\frac1a)(a+\frac1b)=\frac1{aby}(yb+1)(ay+1)(ab+1)=\frac1{aby}(aby^2+ay+yb+1)(ab+1)=\frac1{aby}(a^2b^2y^2+a^2by+ab^2y+aby^2+ab+ay+yb+1)=aby+a+b+y+\frac{ab+ay+yb}{aby}+\frac1{aby}$$

Ahora, utilizando las fórmulas de Vieta, tenemos que $aby=\frac{1}{3},ab+ay+yb=0,a+b+y=-\frac{8}{3}$ . Esto da $(b+\frac1y)(y+\frac1a)(a+\frac1b)=\frac{1}{3}-\frac{8}{3}+0+3=\frac23$

Answer 2

Escriba $(b+1/y)(y+1/a)(a+1/b)$ como $\frac{(by+1)(ya+1)(ab+1)}{yab}$ encontrando un denominador común para cada paréntesis. Expandiendo esto da:

$$\frac{(aby)^2+aby(a+b+y)+ab+by+ya+1}{aby}$$

Answer 3

También se puede calcular la expresión directamente utilizando el hecho de que

$p(x) = 3(x-a)(x-b)(x-y)\Rightarrow 3aby = 1$ .

Para ello, tenga en cuenta que

\begin {eqnarray*} P & = & (b+1/y)(y+1/a)(a+1/b) \\ & = & \frac {(by+1)(ay+1)(ab+1)}{aby} \\ & \stackrel {aby= \frac 13}{=} & 3 \left ( \frac 1{3a}+1 \right ) \left ( \frac 1{3b}+1 \right ) \left ( \frac 1{3y}+1 \right ) \\ & \stackrel {aby= \frac 13}{=} & \frac 13(1+3a)(1+3b)(1+3y) \end {eqnarray*} Ahora, un truco estándar utiliza la observación \begin {eqnarray*} p \left ( \frac {t-1}3 \right ) & = & 3 \left ( \frac {t-1}3-a \right ) \left ( \frac {t-1}3-b \right ) \left ( \frac {t-1}3-y \right ) \\ & = & \frac 19 \left (t-(1+3a) \right ) \left (t-(1+3b) \right ) \left (t-(1+3y) \right ) \end {eqnarray*} Por lo tanto, sólo se necesita el miembro constante $$c =-\frac 19(1+3a)(1+3b)(1+3y)=-\frac 13 P$$ de $$p\left(\frac{t-1}3\right)= 3\left(\frac{t-1}3\right)^3 + 8\left(\frac{t-1}3\right)^2 -1 $$$$\Rightarrow c= -\frac 19+\frac 89-1 = -\frac 29$$

Por lo tanto, $$P= -3c = \frac 23$$

Answer 4

Una pista: $$(b+\frac{1}{y})(y+\frac{1}{a})(a+\frac{1}{b})=aby + \frac{1}{aby} + (a + b + y) + (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{y})$$

(Aquí está el Verificación de WolframAlpha para este cálculo).

¿Puedes terminar?