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Si a , b y y son las raíces de 3x3+8x21=0 encontrar (b+1/y)(y+1/a)(a+1/b)

Si a b e y son las raíces de 3x3+8x21=0 encontrar (b+1/y)(y+1/a)(a+1/b)

Esto es lo que he hecho hasta ahora, pero aparentemente es incorrecto. Quiero saber por qué.

(b+1/y)(y+1/a)(a+1/b)

(by+1/y)(ay+1/a)(ab+1/b)

(aby2+1/ay)(ab+1/b)

que es igual a a2b2y2+1/aby

Usando la fórmula de Vieta obtengo:

aby=d/a

aby=1/3

Subbing en el original: (1/9+1)/1/3 que es... 10/27

La respuesta es supuestamente 2/3, quiero saber qué hice mal.

2voto

MoKo19 Puntos 81

Tienes algunos errores:

  1. (b+1y)(y+1a)(a+1b)a2b2y2+1aby como escribe más arriba
  2. (b+1y)(y+1a)(a+1b)a2b2y2+1aby Al aplicar la fórmula que escribiste

La solución real es: (b+1y)(y+1a)(a+1b)=1aby(yb+1)(ay+1)(ab+1)=1aby(aby2+ay+yb+1)(ab+1)=1aby(a2b2y2+a2by+ab2y+aby2+ab+ay+yb+1)=aby+a+b+y+ab+ay+ybaby+1aby

Ahora, utilizando las fórmulas de Vieta, tenemos que aby=13,ab+ay+yb=0,a+b+y=83 . Esto da (b+1y)(y+1a)(a+1b)=1383+0+3=23

1voto

Ken Puntos 427

Escriba (b+1/y)(y+1/a)(a+1/b) como (by+1)(ya+1)(ab+1)yab encontrando un denominador común para cada paréntesis. Expandiendo esto da:

(aby)2+aby(a+b+y)+ab+by+ya+1aby

1voto

zardos Puntos 41

También se puede calcular la expresión directamente utilizando el hecho de que

p(x)=3(xa)(xb)(xy)3aby=1 .

Para ello, tenga en cuenta que

\begin {eqnarray*} P & = & (b+1/y)(y+1/a)(a+1/b) \\ & = & \frac {(by+1)(ay+1)(ab+1)}{aby} \\ & \stackrel {aby= \frac 13}{=} & 3 \left ( \frac 1{3a}+1 \right ) \left ( \frac 1{3b}+1 \right ) \left ( \frac 1{3y}+1 \right ) \\ & \stackrel {aby= \frac 13}{=} & \frac 13(1+3a)(1+3b)(1+3y) \end {eqnarray*} Ahora, un truco estándar utiliza la observación \begin {eqnarray*} p \left ( \frac {t-1}3 \right ) & = & 3 \left ( \frac {t-1}3-a \right ) \left ( \frac {t-1}3-b \right ) \left ( \frac {t-1}3-y \right ) \\ & = & \frac 19 \left (t-(1+3a) \right ) \left (t-(1+3b) \right ) \left (t-(1+3y) \right ) \end {eqnarray*} Por lo tanto, sólo se necesita el miembro constante c=19(1+3a)(1+3b)(1+3y)=13P de p(t13)=3(t13)3+8(t13)21c=19+891=29

Por lo tanto, P=3c=23

0voto

Ash Puntos 28

Una pista: (b+1y)(y+1a)(a+1b)=aby+1aby+(a+b+y)+(1a+1b+1y)

(Aquí está el Verificación de WolframAlpha para este cálculo).

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