¿Pregunta básica sobre el subgrupo generado por un conjunto?

Question

Mi libro da primero la definición de arriba a abajo de $\langle A\rangle$ (donde $A$ es un subconjunto de un grupo) y luego afirma

$$\langle A\rangle = \{a_1^{e_1}a_2^{e_2} \cdots a_n^{e_n}| n \in \mathbb{Z}, n \ge 0 \text{ and } a_i \in A, e_i = \pm 1 \text { for each } i \}$$

Esta notación me resulta un poco confusa; debe $a_1, a_2, ... a_n$ sean todos los elementos de $A$ ? ¿Debe la multiplicación ser siempre en este orden fijo?

Answer 1

El $a_i$ no necesitan ser todos los elementos de $A$ pero sólo $n$ elementos elegidos entre los elementos de $A$ . La descripción de su pregunta especifica que $\langle A\rangle$ debe contener todos los productos $a_1^{e_1}\cdots a_n^{e_n}$ para todos $n\geq 0$ todas las formas posibles de elegir $n$ elementos (ordenados) $a_1,\dots,a_n$ en $A$ y todas las formas posibles de elegir el $e_i$ 's en $\{1,-1\}$ .

En cuanto al orden de la multiplicación, elegimos escribir el producto en un orden determinado, pero nótese que en realidad se consideran todos los órdenes, ya que corresponden a diferentes elecciones de $a_1,\dots,a_n$ . Por ejemplo, si $x,y\in A$ entonces debe tener $xy\in \langle A\rangle$ (porque elegir $n=2$ , $a_1=x$ , $a_2=y$ y $e_1=e_2=1$ le da $a_1^{e_1}a_2^{e_2}=xy$ ) y también $yx\in \langle A\rangle$ (porque elegir $n=2$ , $a_1=y$ , $a_2=x$ y $e_1=e_2=1$ le da $a_1^{e_1}a_2^{e_2}=yx$ ).