Dejemos que $f: [0, 1]^2 \to \mathbb{R}$ sea tal que para cada $x \in [0, 1]$ la función $y \to f(x, y)$ es medible por Lebesgue en $[0, 1]$ y para cada $y \in [0, 1]$ la función $x \to f(x, y)$ es continua en $[0, 1]$ .
Es $f$ medible con respecto a la finalización del producto $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{A} \times \mathcal{A}$ en $[0, 1]^2$ ?
Aquí $\mathcal{A}$ es el Lebesgue $\sigma$ -álgebra en $[0, 1]$ .
Sí. Para $n\in\Bbb N$ definir $$ f_n(x,y)=\cases{f(k/n,y),&$ (k-1)/n \le x<k/n, k=1,2, \ldots ,n $\cr f(1,y),&$ x=1 $.\cr} $$ La función $f_n$ es $\mathcal A\otimes\mathcal A$ -medible (incluso $\mathcal B\otimes\mathcal A$ -medible, donde $\mathcal B$ denota los subconjuntos de Borel de $[0,1]$ ). Porque $f_n$ converge puntualmente a $f$ la función $f$ es $\mathcal B\otimes\mathcal A$ -Medible.
Este argumento de aproximación funciona incluso si $x\mapsto f(x,y)$ sólo es continua desde la derecha en $[0,1)$ . Una aproximación similar funcionaría para las funciones continuas de izquierda.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
