$f(x,y,z)=x+2z$ y $M=\{[x,y,z]\in\mathbb{R}^3:x^2+2y^2=4,z+y\le 1\}$ . He descubierto que M no está acotado por abajo por lo que no tiene mínimo ni ínfimo. ¿Pero cómo encuentro el máximo? Intenté usar el multiplicador de Lagrange y obtuve: $\nabla f-\lambda \nabla$ g=0, donde $g(x,y,z)]=x^2+2y^2-4$ $$1-\lambda2x=0$$ $$0-\lambda4y=0$$ $$2-\lambda \cdot 0=0$$ Estoy atascado aquí, la tercera ecuación es obviamente incorrecta. Entonces, ¿cómo puedo continuar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como ha señalado coffeemath en los comentarios, en realidad te dan (y tendrías que tener en cuenta) dos restricciones aquí para pasar a aplicar directamente los multiplicadores de Lagrange. Un ejemplo de cómo hacer esto se puede encontrar aquí hacia el final de la página. Así que, en lugar de seguir el algoritmo habitual, he pensado en mostrarte cómo un poco de reflexión sobre las funciones en este caso te permite reducir el problema a la maximización de una función de dos variables $f_1(x,y)$ sujeta a una única restricción.
Tenga en cuenta que para un $x,y$ con $x^2 + 2y^2 = 4$ , si $z_1 < z_2$ entonces $f(x,y,z_1) < f(x,y,z_2)$ . Así que $F(z) = f(x,y,z)$ , para los fijos $x$ y $y$ que satisface la restricción, se maximiza cuando $z$ es lo más grande posible sin dejar de estar en $M$ , es decir , para $z = 1-y$ . Así que realmente puede ver $f$ en función de dos variables $f_1(x,y) = x + 2(1-y) = x + 2 - 2y$ y maximizar $f$ en $M$ es lo mismo que maximizar $f_1$ en el plató $M_1 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + 2y^2 = 4\}$ . Dejemos que $g_1(x,y) = x^2 + 2y^2 - 4$ . Entonces $\nabla f_1(x,y) - \lambda\nabla g_1(x,y) = \langle 0,0\rangle$ junto con nuestra restricción dice que \begin {align} 1 - 2 \lambda x &= 0, \\ -2 - 4 \lambda y &= 0, \text {y} \\ x^2 + 2y^2 &= 4. \end {align} Las ecuaciones primera y segunda nos dicen que $x,y,\lambda \neq 0$ , $x = 1/(2\lambda)$ y $y = -1/(2\lambda)$ . Así, a partir de la última ecuación \begin {align} 4 &= x^2 + 2y^2 = \frac {1}{4 \lambda ^2} + \frac {2}{4 \lambda ^2} \\ \implies \lambda ^2 &= \frac {3}{16} \implies \lambda \in \left\ { \pm \frac { \sqrt {3}}{4} \right\ }. \end {align} Por lo tanto $f_1$ se maximiza en algún $(x,y) \in \{(\pm 2/\sqrt3, \mp 2/\sqrt3)\}$ . Comprobamos $f_1(\pm 2/\sqrt3, \mp 2/\sqrt3) = \pm4/3 \pm8/3 + 2$ alcanza un valor mayor en $(2/\sqrt3,-2/\sqrt3)$ que $(-2/\sqrt3,2/\sqrt3)$ y así $f$ se maximiza en $M$ en $(x,y,z) = (x,y,1-y) = (2/\sqrt3,-2/\sqrt3,1+2/\sqrt3)$ .
