Cálculo de la distancia de un punto al borde de una elipse

Question

Estoy pensando en utilizar elipses orientadas para representar curvas (abolladuras/rebabas, etc.) en mi motor de física, y tengo algunas preguntas sobre cómo trabajar con ellas:

1. ¿Qué métodos existen para encontrar la distancia mínima entre un punto y una elipse? Necesito métodos de costo variable (en términos de # de cálculos) para diferentes partes de mi motor.

   • Actualmente conozco dos métodos para comprobar si un punto está dentro/fuera de una elipse.

     1. En el primero introduces las coordenadas del punto en la ecuación (x/a)^2 + (y/b)^2 y viendo si es >, <, o = a 1 ( ¿la salida -1 da la distancia mínima al borde de la elipse? )
     2. En la segunda trasladas el punto a las coordenadas de la elipse y estiras horizontal/verticalmente tanto la elipse como el punto para convertir la elipse en un círculo. ( Rara vez veo que se utilice este método... ¿alguna razón por la que deba estar al tanto?)
2. ¿Cómo se comprueba la distancia entre dos elipses? Me imagino que podrías combinar los dos métodos anteriores transformando ambas elipses de forma que una de ellas sea un círculo, y luego probar la distancia desde el centro de la elipse circular hasta el borde de la elipse regular, y finalmente comparar esa distancia con el radio de la elipse circular.

Answer 1

Fuente: Ejercicio 2.3.18 (p.54) de Funciones convexas: construcciones, caracterizaciones y contraejemplos J.M. Borwein y J.D. Vanderwerff (2010).

Considere $E:=\{(x,y):x^2/a^2+y^2/b^2=1\}$ en forma estándar. Demostrar que la mejor aproximación es: $$P_E\,(u,v)=\left(\frac{a^2u}{a^2-t},\frac{b^2v}{b^2-t}\right)$$ donde $t$ resuelve $\frac{a^2u^2}{(a^2-t)^2}+\frac{b^2v^2}{(b^2-t)^2}=1$ .