Evaluar el orden del polo en $1/(1-\cos(z))^2$

Question

Estoy tratando de determinar el orden del polo en la expresión compleja

$$f(z)=\frac{1}{(1-\cos(z))^2}$$

He determinado que el poste es $z=2\pi n, n\in \mathbb{Z}$ .

Sin embargo, cuando utilizo la ecuación $\lim\limits_{z\rightarrow 2\pi n}[(z-2\pi n)^k f(z)]$ con $k=1$ , es igual a $\frac{0}{1}=0$ o que la función es analítica en la vecindad. He utilizado repetidamente la regla de L'Hôpital para obtener este resultado. He comprobado mi respuesta con Wolfram Alpha, y se supone que tiene un polo de orden $4$ y $z=2\pi n$ . ¿En qué me estoy equivocando?

Answer 1

SUGERENCIA:

Tenga en cuenta que $1-\cos(z)=2\sin^2(z/2)$ . Así, $\left(1-\cos(z)\right)^2=4\sin^4(z/2)$

¿Puede proceder ahora?

Answer 2

Si una función $g$ tiene un polo de orden $k$ entonces $g^2$ tendrá un polo de orden $2k$ . Usando su método, tenemos por L'Hopital, $$\lim_{z\to2\pi n}\frac{z-2\pi n}{1-\cos z}=\lim_{z\to2\pi n}\frac1{\sin z}=\infty$$ pero $$\lim_{z\to2\pi n}\frac{(z-2\pi n)^2}{1-\cos z}=\lim_{z\to2\pi n}\frac{2(z-2\pi n)}{\sin z}=\lim_{z\to2\pi n}\frac2{\cos z}=2$$ así que $1/(1-\cos z)$ tiene un polo de orden $2$ . Por lo tanto, $f(z)=1/(1-\cos z)^2$ tiene un polo de orden $4$ .

En su intento, el límite con $k=1$ es de hecho de la forma $1/0$ no $0/1$ Así que $f$ no es analítico como usted afirma.