Hay un problema que requiere el mapeo del conjunto de todos los enteros positivos al conjunto de todos los números racionales positivos para demostrar que tienen la misma cardinalidad. Sé más la respuesta común de la cartografía de esta manera:
Mapa $\mathbb{Q}$ como una tabla de ℤ x ℤ:
\begin {array}{rl} & &1 &2 &3 &4 &5 \\ \\ 1 & &1/1 &2/1 &3/1 &4/1 &5/1 \\ 2 & &1/2 &2/2 &3/2 &4/2 &5/2 \\ \end {array}
Entonces se muestra la cardinalidad de eso como en {1/1,2/1,3/1,4/1,/5/1,1/2/3/2 ... } es la misma que la cardinalidad de {1,2,3,4,5,6}
Sin embargo, mi primera idea era muy diferente. Ahora, todavía no he tomado cursos de muy alto nivel, esta es mi introducción a la teoría de conjuntos. Pero por qué no podría hacer algo así:
El primer elemento del conjunto $\mathbb{Q}$ es:
ε, donde ε es un infinitesimal que se acerca a 0. el segundo elemento de $\mathbb{Q}$ es ε, donde ε es un infinitesimal que se acerca al primer miembro, y así sucesivamente.
así que
$$S(n) = \sum_{i=1}^{n} ε_i$$
donde n ∈ $\mathbb{Z}$
Esta era la esencia de mi idea. Estoy seguro de que probablemente sea una forma de base. Pero, ¿podría alguien explicar por qué?
EDITAR:
Creo que entiendo en qué me estaba equivocando. Definir el infinitesimal aquí no es estándar, y no puedo pensarlo como un límite. La suma que uso tampoco es correcta.
$$S = \{\varepsilon_i : i \in \mathbb Z\}$$
es una forma mucho mejor de representar lo que intento decir.
Entonces mi pregunta se reduce a preguntar si $$S = \{\varepsilon_i : i \in \mathbb Z\}$$ es igual al conjunto de los números racionales positivos. En cuyo caso, no. Porque el infinitesimal no se puede utilizar de esta manera.
@graydad mencionó otra forma genial / no estándar de mapear $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}$
Dejemos que $f:\Bbb{Q}^+ \to \left\{2^n3^m :n,m \in \Bbb{Z}^+\right\}$ se define por $f(n/m) = 2^n3^m$ donde $n/m$ está en la forma reducida más baja. Entonces por la F.T. de la Aritmética sabemos $2^n3^m \neq 2^l3^p$ siempre que $n/m \neq l/p$ . Puede mostrar $f$ es una biyección y que el conjunto $\left\{2^n3^m :n,m \in \Bbb{Z}^+\right\}$ tiene la misma cardinalidad que $\Bbb{Z}$ .
¡Esto es muy interesante!
