Convergencia L^2 y convergencia puntual

Question

He visto una nota informal que dice que si $f_n \to f$ en $L^2$ es convergente puntualmente en casi todas partes.

Sé que la convergencia puntual implica $L^2$ convergencia en condiciones de LDCT, pero no he oído nada sobre su inversa. ¿Es cierto o no?

Si es cierto creo que puede haber alguna relación con los principios de Littlewood. ¿Podría alguien iluminarme sobre esta situación? Si es cierto, ¿podría demostrarlo de la manera más fácil?

Muchas gracias

Answer 1

Falso. Dejemos que $f_n$ sea el listado de las funciones características de los intervalos $[\frac {i-1} n, \frac i n)$ ( $1 \leq i \leq n, n\geq 1$ ) en una secuencia . Entonces $f_n \to 0$ en $L^{2}$ (con respecto a la medida de Lebesgue en $(0,1)$ ) pero la secuencia no converge en ningún punto.

Answer 2

Falso. Kavi Rama te dio un contraejemplo.

Si $f_n \to f$ en $L^2$ , entonces hay una subsecuencia $(f_{n_k})$ que es convergente puntualmente en casi todas partes.