Esta pregunta se refiere al ejercicio 2.31 del libro de Apostol Introducción a la teoría analítica de números .
La pregunta nos plantea lo siguiente: si $f$ es una función aritmética multiplicativa, y $g$ es una función aritmética completamente multiplicativa, y además para todos los primos $p$ y $n \geq 1$ tenemos la relación $$ f(p^{n+1}) = f(p)f(p^n) - g(p)f(p^{n-1}), $$ entonces para todos $n, m$ $$ f(n)f(m) = \sum_{d \mid \gcd(n, m)} g(d) f\left(\frac{nm}{d^2}\right). $$ Más que cualquier otro ejercicio hasta ahora en este libro, esto me parece completamente arbitrario. Lo he resuelto: se puede considerar la pregunta sólo para $n=p^a, m=p^b$ y entonces se deduce que para cualquier $n, m$ por la multiplicidad de $f, g$ y podemos demostrarlo para $p^a \leq p^b$ por inducción en $a$ . Pero eso realmente no me ha enseñado nada: no entiendo por qué puede tener algún sentido que esto sea cierto.
Si $g(p) = 0$ para todos los primos $p$ entonces la relación de la que partimos se convierte en $f(p^n) = f(p)^n$ -- es decir, $f$ es completamente multiplicativo. Por lo tanto, tal vez podamos ver el $g(p)f(p^{n-1})$ como una especie de término de error de la multiplicatividad completa de $f$ . Pero esto no me ayuda a ver por qué el resultado tiene sentido.
Otro enfoque que probé fue observar que la relación nos permite escribir $f(p^k)$ como un polinomio en $f(p), g(p)$ pero escribí unos cuantos y no vi un patrón que entendiera.
Así que mi pregunta es: ¿de dónde viene esta identidad? ¿Cómo debo entenderla, visualizarla, "entenderla"? ¿Cómo se puede llegar a un ejercicio como éste?
