Determinar si los espacios son o no separables

Question

He estado repasando problemas de práctica y me he encontrado con este. Me preguntaba si alguien podría ayudarme con el siguiente problema.

Dejemos que $X$ sea un espacio métrico de todas las secuencias acotadas $(a_n) \subset \mathbb{R}$ con la métrica definida por $$d( (a_n), (b_n)) = \sup\{ |a_n - b_n| : n = 1, 2, \ldots \}.$$ Dejemos que $Y \subset X$ sea el subespacio de todas las secuencias que convergen a cero. Determine si $X$ y $Y$ son separables.

Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que $A=\{\alpha_n:n\in\Bbb N\}$ es un subconjunto contable de $X$ , donde $\alpha_n$ es la secuencia $\langle a_{n,k}:k\in\Bbb N\rangle$ . Tenga en cuenta que para cualquier $x\in\Bbb R$ siempre hay un $y\in[-1,1]$ tal que $|x-y|\ge 1$ . Así, podemos construir una secuencia $\beta=\langle b_k:k\in\Bbb N\rangle$ tal que $b_k\in[-1,1]$ y $|b_k-a_{k,k}|\ge 1$ para cada $k\in\Bbb N$ . Claramente $\beta\in X$ pero para cada $n\in\Bbb N$ tenemos $\sup_{k\in\Bbb N}|b_k-a_{n,k}|\ge|b_n-a_{n,n}|\ge 1$ por lo que la distancia entre $\beta$ y $\alpha_n$ es al menos $1$ . Así, $A$ no es denso en $X$ y $X$ no es separable.

$Y$ por otro lado, es separable. Sea $D$ sea el conjunto de secuencias de números racionales que son $0$ a partir de algún punto, es decir, que sólo tienen un número finito de términos distintos de cero. Demuestre que $D$ es contable y denso en $Y$ . Para esto último, comience con cualquier $\langle a_k:k\in\Bbb N\rangle\in Y$ y cualquier $\epsilon>0$ y construir un elemento de $D$ que es menor que $\epsilon$ lejos de $\langle a_k:k\in\Bbb N\rangle\in Y$ .

Answer 2

Para demostrar que $X$ no es separable, tome una secuencia arbitraria de elementos de $X$ (una secuencia de secuencias) y construir un elemento que difiera al menos $1$ en $d$ de cada elemento de su secuencia.

Para demostrar que $Y$ es separable, mira las secuencias eventualmente nulas con valores racionales.