Prueba de los valores esperados de las funciones

Question

Puede que la redacción de mi pregunta no sea clara, ya que no sabía cómo publicarla, pero cualquier ayuda será muy apreciada, y siéntase libre de editarla.

Estoy muy confundido sobre cómo abordar la siguiente pregunta del capítulo 4 de A first course in probability de Sheldon Ross.

La pregunta es:

Dejemos que $N$ sea una variable aleatoria de valor entero no negativo. Para los valores no negativos, $a_{j}, j\ge 1$ , demuestran que

$$\sum_{j=1}^{\infty} (a_{1} + a_{2} + ...... a_{j})(P(N=j)) = \sum_{j=1}^{\infty} a_{i}P(N\ge i)$$

Entiendo esta parte, lo que no entiendo es lo siguiente:

$$E(N(N+1)) = 2\sum_{j=1}^{\infty}iP(N\ge i)$$

Answer 1

Podemos reescribir lo que tiene como

$$ \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^j a_k P(X=j).$$ Observe que

$$ \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^j a_k P(X=j) = a_1 P(X=1) + a_1P(X=2) + a_2 P(X=2) + a_1 P(X=3) + a_2 P (X=3) + a_3 P(X=3) + \cdots = a_1 \left(\sum_{j=1}^\infty P(X=j) \right) + a_2\left(\sum_{j=2}^\infty P(X=j) \right) + \cdots = a_1 P(X \geq 1) + a_2 P(X \geq 2) + a_3 P(X \geq 3) + \cdots = \sum_{j=1}^\infty a_j P(X \geq j). $$

La clave de este problema es el siguiente hecho (referencia: Prueba $1+2+3+4+\cdots+n = \frac{n\times(n+1)}2$ ):

$$ 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2+n}{2}.$$

Para demostrarlo, basta con un argumento de inducción estándar. Obsérvese que podemos reescribir lo anterior como

$$ 2(1 + 2 + \cdots + n) = 2 + 4 + \cdots + 2n = n^2 + n.$$

Ahora utilizamos las definiciones, la primera parte, y este hecho para obtener

$$E(N(N+1)) = \sum_{j=1}^\infty (j^2 + j) P(X=j) = \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^j 2k \cdot P(X=j) = \sum_{j=1}^\infty 2j P(X \geq j) = 2 \sum_{j=1}^\infty j P(X \geq j). $$