Subgrupos de un finito $p$ -grupo

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo tal que $|G|=p^n$ para algunos $p$ primo y $n\in\mathbb{N}$ . Quiero demostrar que si $k\le n$ entonces $G$ tiene un subgrupo normal de orden $p^k$ .

Quiero utilizar la inducción en $k$ . Si $k=0$ Entonces está claro.

Dejemos que $n>k>0$ y supongamos que $H$ es un subgrupo normal de $G$ tal que $|H|=p^k$ .

Ahora, la pista que me dieron es que $Z(G/H)$ es no trivial, por lo que tiene un elemento de orden $p$ , digamos que $z$ . De alguna manera esto tiene que darme un subgrupo de $G$ de orden $p^{k+1}$ .

Pero no veo por qué.

¿Está relacionado con el teorema de la correspondencia?

Gracias.

Answer 1

Observe que $\langle z \rangle$ es un subgrupo de $G/H$ de orden $p$ . Así, el índice del grupo trivial $\langle H \rangle$ en ella es $p$ . Por el teorema de la correspondencia, la imagen inversa de $\langle z \rangle$ por epimorfismo canónico contiene $H$ y el índice de $H$ en ella es también $p$ . Por lo tanto, es un grupo de orden $p^{k+1}$ . También por el teorema de la correspondencia, es normal en G porque $\langle z \rangle$ está en el centro y por lo tanto es normal en $G/H$ .

Answer 2

Creo que esto le resultará informativo.