Derivada de una fracción respecto a otra

Question

He encontrado este derivado en un libro de texto

$\dfrac{d(c_{t+1}/c_t)}{d(\dfrac{\gamma}{c_t}/\dfrac{1-\gamma}{c_{t+1}})}=\dfrac{1-\gamma}{\gamma} \dfrac{d(c_{t+1}/c_t)}{d(c_{t+1}/c_t)}=\dfrac{1-\gamma}{\gamma}$

Me gustaría entender el primer pasaje. Fue $\dfrac{1-\gamma}{\gamma}$ recién sacado del $d()$ en el denominador?

Answer 1

Una forma más rigurosa de hacerlo es la siguiente. Definir una nueva variable: $$S\equiv\frac{\dfrac{\gamma}{c_t}}{\dfrac{1-\gamma}{c_{t+1}}}.$$ Mediante un simple reordenamiento, se puede calcular que $$\frac{c_{t+1}}{c_t}=\frac{1-\gamma}{\gamma}\times S.$$ Por lo tanto, si se imagina $c_{t+1}/c_t$ en función de $S$ , tienes que $$\frac{\mathrm{d}\left(\dfrac{c_{t+1}}{c_t}\right)}{\mathrm d S}=\frac{1-\gamma}{\gamma},$$ desde $c_{t+1}/c_t$ es sólo una función lineal de $S$ con el coeficiente $(1-\gamma)/\gamma$ .

En su pregunta original, "sacar $(1-\gamma)/\gamma$ sacar del denominador" es una operación informal, ya que lo que aparece ahí es, de hecho, un operador diferencial y, en rigor, no hay "denominador"; es sólo una notación convencional. Sin embargo, el truco informal de "sacar $(1-\gamma)/\gamma$ del denominador" funciona en la mayoría de los casos, lo que sirve de justificación para denotar la operación diferencial como si fuera una fracción.

En general, se puede utilizar el teorema de la función implícita para tomar la derivada de una cantidad con respecto a otra si la relación funcional entre estas dos cantidades es complicada.

Answer 2

Debes referirte a la definición de derivada (el coeficiente sale de la derivación) y notar que en la fracción que mencionaste arriba (¡de hecho una notación justa!) el denominador es un objeto independiente y el nominador -normalmente- es una función de él. finalmente ¡Haz la derivada para obtener el resultado final!

Answer 3

Gracias al contestador. He estado pensando en ello, podría haber utilizado también el teorema de la función inversa.

$\dfrac{d(c_{t+1}/c_t)}{d(\dfrac{\gamma}{c_t}/\dfrac{1-\gamma}{c_{t+1}})}\quad (1)$

es la inversa de

$\dfrac{d(\dfrac{\gamma}{c_t}/\dfrac{1-\gamma}{c_{t+1}})}{d(c_{t+1}/c_t)}= \dfrac{d (\dfrac{c_{t+1}}{c_t} \cdot \dfrac{\gamma}{1-\gamma})}{d(c_{t+1}/c_t)}=\dfrac{\gamma}{1-\gamma} \quad (2) $

Así que como el resultado de (1) es igual al recíproco del resultado de (2), la derivada será

$\dfrac{1-\gamma}{\gamma}$