$(f \star f \star f) (x) $ en $x = 0$

Question

$$g(x) = (f \star f ) (x)$$ y $$q(x) = (f \star f \star f) (x)$$ donde $\star$ denota la convolución.

Puedo escribir $$g(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(\tau)f(\tau - x) d \tau$$ Por lo tanto, $$g(0) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)f(x) dx$$

¿Existe una simplificación similar para $q(0)$ ?

Empecé con $$q(0) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(\lambda) \left(\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(\tau)f(\tau - \lambda) d \tau \right) d \lambda$$

¿Se puede simplificar más? ¿Existe la posibilidad de expresar $q(0)$ con una integral que implique una variable (como $g(0)$ )?

Answer 1

En primer lugar, sus fórmulas para $g(x)$ y $q(x)$ son incorrectas, lo que le está dando una impresión equivocada. Es crucial para las convulsiones que $\tau$ sube y $-\tau$ disminuye a medida que aumenta la variable de integración. Tenemos: $g(x)=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}}f(\tau)f(x-\tau)\,\mathrm{d}\tau$ y de forma similar para $q$ . Por lo tanto, la fórmula ordenada para $g(0)$ es en realidad $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}}f(x)f(-x)\,\mathrm{d}x$ que sólo es igual a su expresión si $f$ está en paz.

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Para $(f\star f\star f)(0)$ que se llevaría a una fórmula para la triple convolución (imagínese que $\mathbb{T}$ en ese enlace se sustituye por $(-\infty,\infty)$ ) y sustituirlo por $0$ .

Obtenemos fórmulas como $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}}f(y)\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}}f(x)f(-x-y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ y $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}}f(-y)\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}}f(x)f(y-x)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

Puede mover el exterior $f(y)$ o $f(-y)$ dentro de la integral interna si lo desea, pero a menos que $f$ es par o tiene alguna otra propiedad especial, no vas a conseguir algo más sencillo.